寒假开始第一轮复习（已完成）

2023/1/15 16:42 暂且先集中精力速度把这三个课程的视频刷完，其他的之后再考虑；

2023/1/17 16:27 跟着B站的视频学了两天，基本上确定是选对教材和视频的，但是有一个老毛病就是总喜欢抠字眼（还是那种视频中与知识点无关的字眼，非常浪费时间，这点注意要改正）

2023/1/18 17:14 听课的时候有一句话，学高数应该去思考为什么而不仅仅只是会使用，这个观点个人认为在高一学习阶段的确如此，但是在应试以及考研复习阶段直接硬背即可，千万不要花费大量时间去琢磨某个知识点，性价比不高；

2023/1/21 15:58 今天听课的时候遇到一个问题，就是有一个已知的知识点，但是总是想去找到前面看过的视频中是否讲到过去验证，这种做法不可取！首先这个知识点既然已经懂了就不需要再费时间反复验证，并且寻找之前的讲解视频是一件非常麻烦的事情，总之不要顾此失彼，应当以节约时间为重点！

2023/1/24 11:34 宋浩的课程讲的很细致，但是有个问题就是太慢了，不是很适合快速复习，所以接下来准备找个快一点的课程跟着学；

2023/1/24 15:52 刚刚粗略的看了一下其他的课程，还是不太行，这里对宋浩的课程的听课行为做一个改进，就是除了概念性的知识以外例题以及题外话都快速的跳过，听宋浩的课程主要是为了建立系统性的概念，知道所有知识点之间的关系；

2023/1/25 16:34 关于宋浩讲话有一些听不清楚的字眼不要去反复抠，因为实际上这些不清楚的部分并不是重点不需要很在意；

2023/1/26 10:10 关于做题方法的总结，如果前面没有总结则直接不总结了，后面注意总结即可，前面未总结的部分做题的时候总结即可；

2023/1/27 17:11 刚刚偶然翻到了大一上学期的时候学习数学分析时候做的课堂笔记，整体看下来感受非常浓烈，也知道为什么大一上下学期学数学分析考的那么差，首先一点是做笔记的方式，可以说非常的杂乱没有条理（这点应该是受到当时同学的影响，盲目的效仿别人的学习方式而不是寻找适合自己的方式） – 当时做的笔记现在看来没有任何参考价值，这种笔记就是垃圾笔记，一个好的笔记应该是能够一目了然，关于例题的集合应该也是有不同的题型、不同的解法分门别类，而不是大杂烩将所有毫无关系的题型总结在一起 – 另外一个做笔记的问题就是重复整理，一个知识点在这个笔记本里面有在另一个笔记本里面也有，关键还不是什么重点知识，纯粹浪费时间浪费精力；接着是听课习惯，听课之前不预习不说，听课的过程中打瞌睡、只听废话不听重点，课后对于重点知识没有下功夫理解，反而花费大量时间在无用笔记的整理、各种偏难点的计较上，浪费大量时间的同时并没有收获相应的回报；最后一点我觉得很重要的就是没有建立自己的知识网络，并没有将学习的知识点之间的关系串联起来，导致做题的过程中脑袋是空白的几乎没什么概念 – 这点真的很重要，个人认为不管是学哪门科目（就算是编译原理这些直接背也能考高分的理工科科目，对于高等数学来说这就更重要了），应当是将知识点转化为自己能够理解的形式而不是强行靠自己的记忆力去背诵（这是很致命的，特别是对现在的你来说记忆力已经没有之前好了，并且理工科要记得东西不像文科那么简单，很容易就被背混淆，千万千万别死记硬背，这种高中的复习方式只会让你得到60分的擦线分，无论你再怎么努力也是如此，因为并没有将精力花在刀刃上） – 希望之前自己走过的坑以后不要再走，只有亲身体会过才知道付出了但没有收到等额的回报是多么痛苦的一件事；

2023/1/28 10:44 差不多十天时间刷完了高数上学期的知识点，接下来准备打算用一周的时间把高数下学期的知识点刷完；

2023/2/1 9:46 现在就加快速度刷视频，笔记整理什么的回到学校也可以；

2023/2/2 10:32 刚才又在一个知识点卡住了，关于前面知识点的总结留到最后找一个机会全部总结，然后再找考研教材进一步的巩固和解题方法的增加、修改等；

2023/2/2 16:50 现在遇到一个问题就是不是很想听课了，特别想做笔记，但是这个我个人感觉应该抑制这种想法，因为做笔记是一个非常享受的过程，不能现在养成学习压力稍微有点大就用做笔记来逃避，现在一定要坚持住把高数的课程听完至少，线代和概率论之后开学刷也来得及；

2023/2/3 10:45 整理笔记的时候可以使用教材也可以使用其他参考，最好是有例题一起整理；

2023/2/3 16:27 高等数学第一轮复习完毕，已经将教材笔记上传到电脑，为之后二轮复习做准备，现在纠结的点在于是继续刷线性代数的网课还是开始找教材边刷题边整理高数，对我个人而言不是特别想听网课了，这段时间明显能感受到听网课的效率在明显降低，所以暂且计划就是开始找考研资料来边刷题边整理资料，关于资料的选择现在是毫无头绪，先在网上找一找推荐吧，另一点就是不用去听网课报班，浪费大量时间并且不适合个人；

2023/2/7 16:35 在刷题的过程中你出现很大的问题，就是总喜欢去同济版的教材中寻找“好像”记过的某些笔记，而这样的笔记实际上找了很多遍都找不到，非常浪费时间 – 解决方法是，过了一遍教材，现在教材上面的例题以及解题方法等都是过去式，都只是帮助你回忆而不是只能用教材上的方法，所以现在教材的作用就是帮助你回忆一些重要的定义，我们需要在刷题或者使用其他考研参考书、百度等进行总结！！！不要再浪费宝贵的时间了！！！ – 关于《三大计算》这本书，就是依托答辩，基础不好的可以直接刷同济教材的课后题，基础好的可以直接刷660或者1800根本没有必要碰这本书，所以现在可以直接放弃这本参考资料了；关于考研教材的使用方式，个人是不建议再花费大量时间去听对应的课程，可以直接硬啃教材，这里注意不要再像第一遍一样手动的做一个整理笔记等非常浪费时间，复习方法是看完一章的教程之后去寻找该章相应的试题来进行大量的练手，一定整理错题本，不要写太多的废话，现在的唯一宗旨就是节约时间！！！

2023/2/7 20:46 现阶段就集中精力复习高数即可，线代和概率论复习时间太久记忆力也不行，没必要开始的很早；

开学初期开始第二轮复习

2023/2/20 15:37 刚刚尝试了一下使用ipad手写总结高数的知识点，总感觉差了那么点意思，手写知识点的缺点在于回头查阅不直观并且容易零碎不全（这点在我们一轮复习同济教材的时候得到了充分的体现），所以现在基本的复习思路就是使用md文件记录所学知识点和刷题总结，使用ipad手写刷题（注意不要花费太多时间在整理知识点上，我们现阶段需要注重的是刷题）；

2023/4/10 16:29 还是需要简单的复习一下基本的几何数学，至少知道切线之类的基本概念（刚刚看了一下后面会介绍空间几何的知识点，等到时候复习空间几何的时候集中再看平面几何(初中)和解析几何(高中)都行），解析几何知识点参考微信公众平台 (qq.com)；

2023/5/15 10:07 现在的状态确实不是很好，每天复习考研的时间感觉完全不够，所以这里先直接把知识点过完（高数、概率论、线代）然后再刷题；

2023/5/16 22:46 把张宇教材的听完了再整理同济教材上的没有整理的笔记（实际上也就剩余高等数学下册的部分知识点）；

2023/5/24 23:47 还是得找时间把同济教材的知识点总结了，这之后就不需要再使用教材了，直接刷题即可；

2023/5/25 10:41 截止目前，高数第二轮复习完毕，将线性代数和概率论的第一轮复习完毕后，准备开始刷题；

2023/8/7 11：03 高数基础阶段完成，自我感觉基本功已经差不多足够了，下一步准备开始张宇强化；

八月初开启第三轮复习

2023/8/8 9:05 强化阶段就不要像基础阶段一样先整理一遍再回头刷题，效率太低了。直接边整理强化阶段的知识点边刷题进行巩固，争取快速过完强化阶段；本来打算的是不看视频，奈何这个书上的结构不看视频真的学不到什么…暂时先看视频尝试效果如何；

2023/8/8 16:41 说真的如果强化阶段不看张宇的视频简直就是一大损失，讲的太好了！我听课的时候有一种要起飞的感觉。虽然强化阶段的题型把我虐的体无完肤，但是我能明显感觉到自己积累的知识点和具体解题时候的运用的差距在哪里，通过这种不断地巩固我相信我的数学能力能够更上一层楼。需要注意因为强化阶段一节课的知识量就非常的巨大，所以推荐听一节课马上就做一节课的课后总结，千万不要拖到后面会忘记很多细节，效果也会大打折扣；

2023/8/22 17:07 最近听课的效率越来越低，之前半天能听一讲，现在一天听一讲还犯困。暂时也不知道该怎么办了，好在最后高数的两讲都没什么难度，坚持一下把最后两讲混完；

2023/8/24 22:25 状态真的非常差，可能需要调整了。今天把高数最后两讲听完了，本来以为只需要一天就能听完没想到还是拖了两天，真的很煎熬。总结了一些之前没有顾及到的知识点，基本上现在的笔记是完整的了，可以准备开始背诵。需要注意的是最后一讲非常重要，但是张宇确实讲的不是很好，而且题型也感觉不是特别的好，给人的感觉就挺懵逼的…所以还是得要刷题才能加深对知识点的掌握。总之高数强化的听课就到此结束，不再过多花时间。接下来的打算就是稳步将线代和概率论的强化完成之后，找到适合自己的题开始刷（尽量就别选张宇的，换个题型可能能增加自己的适应程度）。专业课也按照原计划一点点积累，急不来。最近确实被这个数学整的有点不自在（打游戏啥的调整状态是真的不可取），坚持吧，这是没办法的事；

笔记纠错

2023/9/16 14:11 最近刷题的过程中可能会对笔记中的某些内容产生疑问或者发现错误、补充知识点，故在原完结笔记的基础上进行补充。原版的副本已经保存在pad上，这个版本追求更加精简、更加适用于快速回顾和解题；

一、高数预备知识

这一章作为衔接高中数学和高等数学之间的桥梁，总结了一些重要且常用的知识点。

1.函数

考研数学不研究多值函数

1.1 函数基本概念

1.1.1 反函数

（有关反函数的具体定义教材和网上都没有一个比较统一的说法，因此这里也不给出严格的定义。需要注意的是，反函数的“反”指的是对应法则f与f^-1^的反而非单纯的字母交换）

已知函数f(x)，求解其反函数f^-1^(x)，不用画图，步骤如下：

将f(x)中x关于y的表达式写作y关于x的表达式，注意写出y的范围也就是值域；
将表达式中所有的y替换为x，所有的x替换为y，前面y的范围就是此处x的范围，得到f^-1^(x)的表达式；

例题如下

结论1：

单调函数必有反函数，但不存在单调性的函数仍可能有反函数（分段函数不具备单调性但某些仍有反函数，故函数的单调性是反函数存在的充分非必要条件）

定义在区间上的连续函数存在反函数的充分必要条件是该函数在区间上严格单调（严格单调包含于单调，因为要一一对应所以必须严格单调）

结论2：反函数与直接函数关于直线y=x对称 – 需要注意的是，y=f(x)的反函数x=f^-1^(y)的图像在同一坐标系下完全重合，事实上只有y=f^-1^(x)与y=f(x)才是关于y=x对称的；即y=arcsinx和y=sinx是关于y=x对称，而x=arcsiny和y=sinx是完全重合的（原因是一个是y关于x的表达式，一个是x关于y的表达式，若要画在同一个坐标系中需要统一自变量和因变量）；

结论3：反函数与原函数做运算会出现湮灭现象：g[f(x)]=x

1.1.2 复合函数

复合函数的概念相当简单，需要掌握的是掌握函数复合f[g(x)]的方法，主要分为以下三个步骤：

广义化（将x全部替换为g(x)）
画图分析找出分界线
分段写出复合函数

1.1.3 函数的性质

(1)单调性

除了可以使用求导来讨论函数在某个区间上的单调性，也可以使用如下定义进行判断（利用单调性的定义）

(2)奇偶性

偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。需要注意以下有关奇偶性的结论

(3)有界性

函数有界性的定义如下（重要，常用于证明函数有界）

函数有界还是无界一定是基于区间I来讨论，否则没有意义；
证明函数有界的基本思路就是在给定区间上找到某个正数M使得|f(x)<=M|成立，证明函数无界的思路是在区间内找到一点使得limx->x0f(x)的值为无穷大；
判断某个连续函数在开区间上是否有界，只需要判断其左端点的右极限和右端点的左极限是否存在即可；

(4)周期性

周期性主要记住一个常用结论：若f(x)为奇函数且以T为周期，则f(x)在一个周期上的积分为0

(5)重要结论

其中有关导函数和积分上限函数的函数性质才是这部分的重点

关于第七点，用通俗的话讲就是，拉格朗日证明f’(x)在有限区间内能够控制函数值f(x)

(8)若f(x)是无穷阶可导，则求导一次，奇偶性互换一次

1.2 函数图像

基本初等函数：常数函数、反对幂指三
初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合步骤构成的可以由一个式子表示的函数称为初等函数
- 初等函数的定义域可以是一个区间也可以是几个区间的并集甚至是一些孤立的点

1.2.1 直角坐标系

(1)幂函数

函数表达式：y=x^u^（其中u是实数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数）

常用幂函数图像

观察图像可以知道，x^3^和x^根号3^互为反函数

对幂函数有如下重要应用

(2)指数函数

函数表达式：y=a^x^（其中a作为常数，即以指数为自变量，幂为因变量，底数为常数的函数）

指数函数图像

(3)对数函数

函数表达式：y=logax（其中a作为常数，即以真数/幂作为自变量，指数作为因变量，底数为常数的函数，对数函数是指数函数的反函数）

对数函数图像

无论是趋于负无穷还是正无穷，对数函数的速度都比x^a^其中慢得多

对数运算法则：

(4)三角函数

正/余弦函数

正弦函数和余弦函数图像

基本性质

正/余切函数*

正切函数与余切函数图像

基本性质

正/余割函数

正割函数与余割函数图像

基本性质

(5)反三角函数

反三角函数相当好记，都是单调函数（可以利用这一点直接描点画得到反三角函数的图像）

反正/余弦函数*

函数图象

基本性质

反正/余切函数*

函数图像

基本性质

(6)分段函数

下面列举几个重要的分段函数

绝对值函数

符号函数

取整函数

关于[]取整函数，表示不超过x的最大整数，即向下取整（考研数学中只有向下取整，没有四舍五入或者向上取整，请注意区分），其图像是右连续的，主要有以下两个重要性质

x-1<[x]<=x(常用)，[x]<=x<[x]+1
[x+n]=[x]+n，n为正整数(常用)

取整函数图像

1.2.2 极坐标系*

极坐标下作图有两种方式，土方法是描点作图（这种方法速度非常慢不推荐），要求掌握以直角坐标系转化到极坐标系作图的方法（两步法）

(1)心形线

“屁股向左”函数表达式：r=a(1+cos θ) (a>0)

“屁股向右”函数表达式：r=a(1-cos θ) (a>0)

函数图像

2Π为周期

(2)玫瑰线

函数表达式：r=asin 3θ(a>0)

函数图像

2/3Π为周期

(3)阿基米德螺旋线

函数表达式：r=aθ(a>=0,θ>=0)

函数图像

(4)伯努利双纽线

函数图像

1.2.3 参数方程

(1)摆线

考研三大摆线：

外摆线：心形线
平摆线：简称摆线，因其基线水平得名
内摆线：星形线，圆在内部滚动得名

平摆线

(2)星形线

1.2.4 图像变换

(1)平移变换

左加右减，上加下减

左加右减

上加下减

(2)伸缩变换

水平“乘缩除伸”，垂直“乘伸除缩”

1.2.5 特殊图像汇总

(1)双曲正弦&反双曲正弦

反双曲正弦函数是一个非常常用的函数，它求导为如下表达式；且根据图像可知，当x->0时反双曲正弦函数与x趋于0的速度相同，因此可得等价无穷小替换

特殊性质

(2)双曲余弦函数

(3)高斯曲线

高斯曲线在(-∞,+∞)的面积为Π，这个积分是典型的用二重积分解决定积分的案例（详情见[高斯曲线的面积计算](# 6.3 基本结论*)）

(4)Γ函数

这里介绍Γ函数并不是介绍它的图像，而是因为它具备的良好性质可以在计算某些积分题时快速得到答案（当然也可以用分部积分硬解）

2.数列

2.1 等差数列

2.2 等比数列

2.3 常见数列求和

3.三角函数

3.1 三角转换

奇变偶不变，符号看象限

口诀：奇变偶不变，符号看象限

此处的奇偶指的是加上的角是Π/2的奇数倍还是偶数倍；

此处的符号指的是将α看作锐角时，原三角函数如sin(Π/2-α)在Π/2-α的象限的符号（三角函数在四个象限中的符号可以背象限图）

3.2 三角函数值

常用三角函数值

3.3 重要公式*

3.3.1 倍角公式

3.3.2 半角公式

半角公式也称为降幂公式

3.3.3 和差公式

只需要记忆sin和cos的和差公式即可

3.3.4 积化和差

主要借助和差公式

3.3.5 和差化积

主要借助积化和差公式

和差化积与积化和差基本不会考察，考前看一看就行

3.3.6 辅助角公式

3.3.7 平方关系

4.零散知识点

4.1 一元二次方程

二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线

结论6：一元二次方程的顶点坐标为，即抛物线的对称轴x=-b/2a与抛物线的交点

4.2 因式分解

4.3 重要不等式

(9)
$$
当0<=t<=1时，有0<=ln(1+t)<=t
$$

(10)
$$
a-b<=|a-b|,b-a<=|a-b|（去绝对值常用）
$$

4.4 充分条件&必要条件*

充分条件是前推后，必要条件是后推前，需要注题干描述的术语（非常的绕，自己找合适的方式理解）

xx是yy的充分/必要条件，这里xx在前，yy在后
xx的充分/必要条件是yy，这里yy在前，xx在后
xx是yy的充分/必要条件<=>yy的充分/必要条件是xx
xx是yy的充分/必要条件<=>xx的必要/充分条件是yy

举例：

在某点可微的必要条件是偏导数f’x和f’y都存在（这里偏导存在在前，可微在后，可微可以推出偏导存在） <=> 在某点可微是在该点偏导数f’x和f’y都存在的充分条件（可微在前，偏导存在，可微可以推出偏导存在）；

在某点可微的充分条件是偏导数存在且连续（偏导存在且连续在前，可微在后，偏导存在且连续可以推出可微）<=>在某点可微是在该点偏导存在且连续的必要条件（可微在前，偏导存在且连续在后，偏导存在且连续可以推出可微）；

4.5 常用物理公式

物理量	计算公式
重力	GMm/R^2^
浮力	ρgV
压强	F/S，ρgh
牛顿第二定律	F=ma(物体加速度与外力成正比)

4.6 极坐标系

极坐标系的定义如下

下面展示一些常用的极坐标方程（基本思想就是先找θ再找ρ，其中ρ的表达式中线是等式，面是不等式；）

二、数列极限*

证明数列极限一般使用数列极限的定义或单调有界准则，求解数列极限一般使用常数法、夹逼准则、[海涅定理](# 1.4 海涅定理(归结原则))或定积分的精确定义。本章知识点较少，但对应考研题型的难度相当大，与无穷级数、中值定理并称考研高数“三大拦路虎”

1.数列极限定义

数列通项的极限存在与数列收敛是完全等价的，若数列通项的极限不存在则称数列发散
根据单调有界准则，单调且有界的数列必定收敛（必有极限）

结论1：若数列收敛，则其任意子数列也收敛，并且其子数列和数列收敛到同一个极限(数列收敛的充要条件)；

结论2：数列的某个子列收敛并不能保证原数列收敛 – 若函数的两个收敛子列收敛到不同极限，则原数列一定发散；

结论3：数列的某个子列发散，则原数列一定发散；

使用数列极限定义证明极限存在时，只需要找到正整数N即可（一般会对最后的答案进行取整[]+1的操作确保结果可靠）；

要证明数列极限不存在，总结有如下方法

若数列无界，则数列极限不存在；
若数列的子列发散，则数列发散；

2.收敛数列的性质

一般情况下唯一性和存在为常数一起出现，即当limxn存在时，常记为limxn=A其中A为某唯一常数
上述保号性的使用一般体现在脱帽戴帽法中，实际下面结论中的0改为任意常数a也成立
- 脱帽：若limxn=A>0则当n->∞时xn>0，若limxn=A<0则当n->∞时xn<0（严格不等号）
- 戴帽：当n->∞时xn>=0则limxn=A>=0，当n->∞时xn<=0则limxn=A<=0（非严格不等号）
  - 一般情况下使用戴帽法会引入等号，而有些等号我们是不希望它存在的，可以使用反证法或放缩法(中间找人挡一下)进行排除
极限运算法则的使用前提是已知两个数列的极限都分别存在，盲目使用极限运算法则很容易做错！！！

补充一些比较重要的小结论：

结论1：

limx->x0f(x)=f(x0)可以推出limx->x0|f(x)|=|f(x0)|，反之不一定成立

结论2：

3.方程列和区间列

方程列是这样的一种数列，即一系列不同的方程的根构成数列{xn}

区间列是这样的一种数列，即同一个方程在不同区间上的根构成数列{xn}

方程列和区间列的问题的解决基本思路与普通数列是相同的，所以不必过分担心

4.数列和极限

4.1 定积分精确定义

关于为什么能够使用定积分精确定义求解数列和极限参考[定积分的精确定义](# 2.1.2 精确定义)，定积分的精确定义式有两个（这两个是等价的）

使用精确定义只需要先后构造出1/n和i/n即可

一种新题型是定积分精确定义的变式，若通项中含xi/n，考虑以下的式子

4.2 夹逼准则(数列)

当数列通项无法凑出i/n时，考虑使用夹逼准则求极限

数列的夹逼准则主要分为两步分别是“夹中间”(放缩)和“取极限”(求数列极限)，分为两种放缩方法，分别是利用基本放缩和题干条件，其中基本放缩有以下两个

具体的使用方法如下

往往某些题在放缩过后的两端数列极限仍然不好求，可以回到开头考虑使用定积分精确定义求解（即夹逼准则与定积分精确定义的综合考察）

三、函数极限与连续性

1.函数极限

1.1介绍完函数极限的定义之后，下面的基本都是在讲如何求解极限（没必要特地去总结有哪些更细致的方法什么有理化之类的（有的教程甚至总结了20多种方法，全记下来是最愚蠢的行为），核心就是下面几个以及3.未定式极限计算，其他的衍生题型无非就是多了一些对待求多项式的变形而已）

1.1 函数极限

1.1.1 函数极限的定义(去心)

函数趋于某一点的极限

函数极限不存在有两种情况，一种是左右极限不相等，一种是极限趋于无穷
自变量取值双向性：x->x0的方式，既需要考虑x->x0^-^，也需要考虑x->x0^+^

结论1：因为函数极限的定义是在去心邻域，这表示f(x)在x0有无极限和f(x)在x0是否有定义无关；

结论2：函数在某点极限存在的充要条件是在该点左极限和右极限存在且相等 – 常用于判断极限是否存在或反求间断点的极限值；

结论3：如果极限存在则它可以表示为一个确定的数值，这也是一种常规的抽象表示方法limf(x)=A。实际上除了极限，考研数学中当某点导数f’(x0)存在、某区间上定积分存在、二重积分以及三重积分存在均可令其为A建立等式；

函数趋于无穷的极限

自变量取值双向性：x->∞，既包括x->-∞，也包括x->+∞！！！换句话说，limx->∞f(x)=A等价于limx->-∞f(x)=limx->+∞f(x)=A

1.1.2 函数极限的性质

在形式上，数列极限是函数极限的一种自变量为正整数的特例，因此数列极限的性质基本上都可以搬到函数极限上使用（但需要对描述进行一定的修改）

唯一性又称为自变量取值双向性：

x->x0的方式，既需要考虑x->x0^-^，也需要考虑x->x0^+^

x->∞，既包括x->-∞，也包括x->+∞！！！换句话说，limx->∞f(x)=A等价于limx->-∞f(x)=limx->+∞f(x)=A

局部有界性是指，若f(x)在x0极限存在则在x0邻域内有界。举个例子，若limx->x0存在，则f(x)在x0的邻域有界 – 极限存在只是函数局部有界的充分条件而非必要条件：

f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界；

f(x)在(a,b)内连续且limx->a^+^和limx->b^-^都存在，则f(x)在(a,b)内有界 – 该结论常用于开区间的有界性判断；

f’(x)在(a,b)内有界则f(x)在(a,b)有界（可用牛莱公式理解）；

函数极限和数列极限的另一个区别就在于函数是局部有界性和局部保号性（只在x的邻域内成立），这两个性质都很好理解，画图作出函数极值领域内的函数图像很好看出局部有界性和局部保号性；

局部保号性是三条性质中最重要的，需要记忆的是由局部保号性推导得到的不等式脱帽法和不等式戴帽法

不等式脱帽法：若limf(x)>0则f(x)>0，若limf(x)<0则f(x)<0 – 严格不等号

不等式戴帽法：若f(x)>0则limf(x)>=0，若f(x)<0则limf(x)<=0 – 非严格不等号

相应的，还有等式脱帽和戴帽，互为充要条件描述如下：limf(x)=A <=> f(x)=A+a其中lima=0

1.1.3 极限运算法则

与数列极限类似，函数极限仍然有四则运算法则

1.2 洛必达法则

洛必达法则使用的三大条件：形式满足0/0或∞/∞、函数可导以及比值a存在（a为有限实数或无穷大）

洛必达法则使用需要注意以下几点

关于第一点，实际上还有其他类型也可以用洛必达，但是针对考研来说我们只认为有两种形式可以使用洛必达
第三点简单来说就是，函数极限存在其对应的洛必达结果可能不存在，而函数对应的洛必达结果存在则函数的极限一定存在；

1.3 泰勒公式

（泰勒公式怎么记参考“高等数学中“泰勒公式”的口诀记忆及其应用与典型题求解 (qq.com)”）

泰勒公式是计算极限的重要工具，下面给出几个重要泰勒展开式

x->0的几个重要麦克劳林展开式

注意：

使用泰勒公式求极限，难点在于函数应当展开到x的几次幂，主要有以下几种情况

A/B型，如果分母（或分子）是x的k次幂，则应把分子（或分母）展开到x的k次幂，可称为“上下同阶”原则；
- 注意，当展开的分子为加减法的时候相对简单，但是当展开的分子为乘法的时候存在一定难度，下面这题是一道经典的题型
A-B型，将 A，B 分别展开到它们的系数不相等的 x 的最低次幂为止，称为“幂次最低”原则（分别将A，B展开到x^n^的时候，其前面的系数不同，故展开到该幂次即可）；
- 注意“最低”，也就是说如果缺项是可以补项的

1.4 海涅定理(归结原则)

海涅定理是联系数列极限和函数极限的桥梁，它指出：在极限存在的条件下，函数极限和数列极限可以相互转化

海涅定理

海涅定理看起来很抽象，简单来说，海涅定理就是当n->∞时f(xn)的极限值(数列极限)等于x->x0时f(x)的极限值(函数极限)，下面是海涅定理的一个应用（证明题）

可以认为，函数极限中的x是一个连续变量满足x->x0，它对应数列极限中“无穷多个”符合xn->x0的离散变量xn，海涅定理更常见的应用如下（计算题）

即“针对某一类数列通项为xn的具有相同性质(即limxn->x0)的数列，其极限计算的结果都等于同一个函数极限limx->x0f(x)”，也就是说海涅定理其实最牛的地方是用于简化数列极限的计算，将某一类数列极限的计算抽象为同一个函数极限的计算

1.5 无穷小和重要极限

定义：函数f(x)的极限值为0称无穷小，函数f(x)的极限值为无穷（无论正无穷还是负无穷）称为无穷大；

无穷小的比阶是整个无穷小的使用的核心，当题干问道两个函数之间的无穷小关系，一般都是列出无穷小计算式并计算，根据如下计算结果得出两个函数之间的无穷小关系

结论1：并不是任意两个无穷小都可以比阶，当两个无穷小无法比阶意味着这两个无穷小无高低阶的区分也无同阶可言；

下面几个无穷小的运算法则尤其重要，注意使用的条件！！！

有限个无穷小的和是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小

与之相对的，无穷大并不具备这些良好的性质

无穷大求和不是无穷大
无穷大*有界量不是无穷大（无界量）
无穷大比阶，当n->无穷时

$$
ln^λn<n^a<a<n<n!<n^n
$$

在泰勒公式的应用中，会对高阶无穷小进行计算，主要有以下法则

1.5.1 等价无穷小

(1)普通函数型

使用时一般都要做广义化：可将x替换为趋向于0的函数；

等价无穷小替换原则：

加减不能进行等价无穷小替换(如tanx-sinx)，只有商或积的时候可以替换(如tanx*(1-cosx)~x(1-cosx)) – 等价无穷小替换本质上就是泰勒展开式的一种特殊形式，仅仅只是保留了泰勒展开式的第一项，因此有时候精度不会那么准确，如果做加减法会进一步造成更大的误差；

可以只替换分子或分母，若分子或分母是若干因子乘积，也可以只替换其中的某个因子；

趋于常数的项直接提出去不用替换；

除了上述常用等价无穷小外，下面补充解题中产生的其他有意义的无穷小

重要极限无穷小

$$
e^f-e^g=e^g(e^f/e^g-1)等价于e^g(f-g)（当x趋于0时，这是一种常见处理手段）
$$

$$
e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)，因此e^x-x-1等价于x^2/2（当x趋于0时，这是一种常见处理手段）
$$

(2)复合函数型

其证明如下（重要，解题依据）

(2),(3),(4),(5)的前提都是假设所给抽象函数均为研究区间上的连续函数

若m,n为实数（即可能是分数也可能是根式），则当x->0^+^时该命题仍然成立

(3)变上限积分型

其证明如下

若m为正实数，则当x->0^+^时该命题仍然成立

(4)复合函数与变上限积分型*

其证明如下

若m,n为正实数，则当x->0^+^时该命题仍然成立

(5)推广型

推广型的“推广”意义在于，前四种形式都是被积函数趋于0的，而这种形式的被积函数不趋于0

(6)“找大哥”型

1.5.2 重要极限

注意这里的两个重要极限都是可以广义化的，下面给出一道例题帮助理解

例题_1

因为广义化的存在，因此可以推出其他重要极限如下

1.6 夹逼准则

（数列极限同样有夹逼准则，但这里我们主要讨论函数的夹逼准则）

简单来说就是f(x)的极限不好求解则借助g(x)和h(x)的极限侧面求解，这是求解函数极限的“杀手锏”

2.函数连续与间断

2.1 函数连续(不去心)

函数在某点连续

函数在内点处的连续定义：在x0有极限、在x0有定义（函数值存在）、极限值等于函数值

函数在端点处的连续定义：设x∈[a,b]，若limx->a^+^f(x)=f(a)则称f(x)在x=a右连续，若limx->b^-^=f(b)则称f(x)在x=b左连续

开区间上函数连续的定义：函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续则称函数在开区间内连续

闭区间上函数连续的定义：函数f(x)在开区间(a,b)内连续且在端点右连续，在端点b左连续，则称函数在闭区间[a,b]上连续

结论1：函数在内点连续的充要条件是在该点既左连续又右连续；

结论2：连续在几何上的含义就是一笔画不提笔，可导的几何含义是既一笔画又光滑；

2.2 函数间断

函数的连续性实际是函数极限的应用，在本节主要讨论函数的连续与间断。因为一切初等函数在定义区间内必连续，因此考研题型只研究两类特殊点的间断性（即“找函数间断点”题型中所谓的“可疑点”）

函数无定义点：这种点必定为间断点，主要谈论其间断点类型
分段函数的分段点：可能是连续点也可能是间断点，主要判断其是否连续

间断点的定义都是在函数f(x)在点x0的某去心邻域有定义，即f(x)在点x0的左右两侧均有定义（对于某些只有在x0某一侧f(x)才有定义的情况不讨论间断点，即不讨论区间端点是否间断）

第一类间断点只有：可去间断点(不满足极限值等于函数值)，跳跃间断点(x0点左极限值不等于右极限值) – 极限值均存在

第二类间断点包含：无穷间断点，振荡间断点 – 极限值均不存在

2.3 一元函数&多元函数

一元函数的微分、连续以及可积有如下不等关系
$$
可微=可导>=连续>=可积
$$

可导必定连续，连续不一定可导（光滑必定一笔画，但一笔画不一定光滑）；
可微和可导等价；
可积不一定连续，连续必定可积（可积是指符合定积分存在定理而非原函数存在定理）；

一元函数和多元函数在极限存在、连续、可导以及可微的相互关系上有相同也有不同，下面这张图完整的总结了它们之间的关系

3.未定式极限计算*

未定式表示其极限可能存在可能不存在，需要通过计算来判断，除了下面七种未定式，其他非未定式要么极限一定存在要么极限一定不存在。对于非未定式，直接硬算就行，没什么难度；

这里仅仅只是提供一个解决大部分未定式极限计算的方法，不能保证对所有的未定式的极限计算都有用（数学最重要的是掌握知识点的核心而不是硬背解题模板）

注意这里的0/0型是“趋于0/趋于0”的形式，如果是形如“真正的0/趋于0”结果可以直接算出就是0

七种未定式

主要分为三个步骤：

判断是上述哪种未定式
- 前三个未定式是最经典的，可以直接使用洛必达法则进行计算（使用洛必达之前适当进行化简） – 对于0·∞类型的，选择谁作为分母应该选择求导之后较简单的那一项，避免导致洛必达后计算复杂
- 对于∞-∞型的通常都要都要将其变为除法解决
  - 有分母则通分，没有分母则创造分母（倒代换、构造分母）
- 对于∞^0^或0^0^这两种未定式，使用恒等变形
- 对于1^∞^类型，如果limu^v^属于1^∞^型，有（该结论使用第二重要极限公式推导，当然对于某些1^∞^类型使用上述对数处理也能解出来，哪个方便用哪个)
化简：
- 化简首选等价无穷小替换（无穷小公式是可以广义替换的，不要只局限于已知的无穷小公式），等价无穷小替换注意使用条件 – 只能用于乘除法
- 恒等变形（加减同乘除、换元甚至高级定理等）
  - 见根号差【根号-/+根号】，用有理化（实际上【根号+/-非根号】也常用根号差有理化，不要管这个根号差是在分母还是分子） – 根号有理化不一定有用，但是提供了一种思想可用于尝试
  - 一般普通换元需要注意，如果有x->-∞，一定要用t=-x或t=-1/x换元才能将负号处理掉进入根号（这是一个极其关键点的考点）
  - 换元还包括高级换元，诸如令xt=u(认为x是常数)以解决如这种非定积分也非变限积分的积分问题
  - 更多恒等变形的方法参考[恒等变形方法汇总](# 3.1 恒等变形)；
- 及时提出极限存在且不为0的因式（重要）
计算（包括极限运算规则、夹逼准则、洛必达法则、泰勒公式、归结原则等）
- 洛必达法则是最简单也是最容易想到的，需要注意使用条件 – 必须是0/0或者∞/∞型，且分子分母均可导，并且导函数的极限存在（广义存在，0,c或∞）
- 如果原式根本无法化简或f(x)可导性未知(如数列{xn}就根本不能求导)，使用泰勒公式、幂次相消(常用于∞/∞的情况)等计算
- 常规求极限的方法无法使用的时候(比如求解[∞]的极限或证抽象函数的极限是否存在)，使用夹逼准则(求极限)或单调有界准则(证极限存在)
  - 夹逼准则无需证明左右等号，结合常用不等式常考
  - 单调有界准则：单调有界必有极限。若当x->+∞时，f(x)单调增加/减少，且f(x)有上界/下界，则limf(x)存在
- 另外还有一种求极限的方法是利用导数的定义，将已知的式子通过恒等变形凑出导数定义进而利用导函数巧算极限

3.1 恒等变形

上述定理中的N-L公式、拉格朗日以及对变限积分(上限为x+a下限为x)求导得f(x+a)-f(x)这三个工具是高数中常用的解决两个函数相减的工具

当然某些时候不会显式给出两个函数相减的形式，此时可以手动构造

四、一元函数微分学

1.基本概念

1.1 导数定义(不去心)

导数的几何意义：f(x)在点x0处的导数值f’(x0)就是曲线f(x)在点(x0,y0)处切线的斜率；

不去心指的是函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义(函数在某点有定义即，函数在该点不为无穷大或不是无解，而是有限值)，该邻域是包含x0的

上述导数的定义给出了极限和在某点极限形式的导数之间的转换关系，在某些情况下可以使用该公式适当进行转换。需要注意的是，上述定义中分子和分母中的h的符号应当保持一致，同为正或同为负（从曲线斜率上来理解）

考研题型中增量Δx一般会被广义化为“狗”
如下三种说法完全等价：f(x)在点x0处可导、f(x)在点x0处导数存在、f’(x0)=A(A为有限数)

1.2 高阶导数定义

高阶导数的定义

1.3 常用结论

结论1：函数f(x)在点x0处可导的充要条件是左导数和右导数存在且相等；

更常见的说法是，函数f(x)在x0可导的充要条件是导函数在该点的左右极限存在且相等(注意是导函数而非原函数的左右极限)，且该点的导数值等于该极限值；
当使用求导公式遇到无定义点，并不能说明函数f(x)在该点不可导，此时使用导数的基本定义进行判断和求解（求导公式的成立条件是基于函数可导，但求导公式不成立不能反推函数不可导）

结论2：函数在某点可导在该点必定连续（这表明函数的间断点一定是不可导点），反之函数在某点连续不一定在该点可导（光滑一定一笔画，一笔画不一定光滑）；

结论3：图像光滑但并不可导的特例是y=x^1/3^，其图像如下，因此说可导的图像光滑，额外的，图像某点的切线不能垂直于x轴

结论4：

若函数f(x)在开区间I内的每个点上都可导，则称函数在I内可导，对应的f’(x)称为导函数；
若函数f(x)在开区间(a,b)内的每个点上都可导，且在x=a处存在右导数，在x=b处存在左导数，则称函数在区间[a,b]上可导；

结论5：若f(x)在[a,b]上可导则f(x)在[a,b]上连续，进而f(x)在[a,b]上必定存在最大值和最小值

若f(x)在x=a处取得最大值则x=a的右导数小于等于0，若取得最小值则在x=a处的右导数大于等于0（由函数极限的保号性推得）
若f(x)在x=b处取得最大值则x=b的左导数大于等于0，若取得最小值则在x=b的左导数小于等于0
若f(x)在(a,b)内取得最值，则必有f’(c)=0（费马定理）

结论6：只有当函数的导数在某个区间连续的时候才能将x=x0代入导函数求得f’(x0)，否则只能用函数在某点的导数定义求解f’(x0)

需要注意的是，函数f(x)与其绝对值|f(x)|之间的可导关系也常常出题，下面四个结论在解题时可直接使用（比如题干说|f(x)|有两个不可导点，可以直接转换为寻找f(x)的两个使得f’(x)!=0的零点问题）

2.微分定义(不去心)

可微的几何意义：若f(x)在x0可微，则在曲线上的点(x0,y0)附近可以使用一段切线来近似代替这段曲线；
微分的数学意义：即根据已知的Δx=dx，使用dy来近似求解Δy，误差为o(dy)（或o(Δx)，这两种都是正确的！！！）
- dy=f’(x0)·Δx=f’(x0)·dx – 函数的微分是函数增量的线性主部
- Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

结论1：函数在某点可微的充要条件是函数在该点可导（因此某些判定函数在某点是否可微的题目可以转换为判定在该点是否可导）；

结论2：函数的导数等于函数变量微分dy和自变量微分dx的比值，故导数也称为微商；

另一种判断一元函数是否可微的主要步骤如下（不转换为判断可导，直接判断是否可微）

结论3：在函数微分定义中的dx实际上并不是单纯的特指一次方的x(但是Δx中的x是特指一次方的x)，而是针对f(x)来说的，也就是说这个x实际上是有泛化意义的，即广义上的函数微分定义如下
$$
d[f(狗)]=f’(狗)d(狗)
$$

3.导数与微分的计算

求解函数在某点的导数值主要有两种思路，一是“函数在某点的导数值等于其左右导数在该点的极限值”，二是“直接求解导函数f’(x)再代入x=x0求解”

3.1 四则运算

前提是下面的基本函数都可导，理论依据是可导函数的和、差、积、商等都可导

求导要说明是针对哪个变量进行求导，而求微分是针对所有的变量求微分；

四则运算部分的题型一般考察将代求导函数f(x)拆分为多个可导函数的四则运算，下面这道例题是典型的考察题型（注意其中处理连乘的方法）

3.2 特殊函数求导

在介绍特殊函数求导之前先介绍两个针对复杂表达式求导的常用手段：

对数求导法：对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导，需要注意取对数的步骤是先等式两边加绝对值后再取对数，得ln|y|=ln|f(x)|（如果多项式可以确定一定大于0则可以不加绝对值，加绝对值是为了避免某些负数的情况下出错）
幂指函数求导法：对于u(x)^v(x)^这种形式的，除了可以适用对数求导法也可以先化为指数函数再对x求导（这种情况下就必须保证u(x)>0才可以）

3.2.1 分段函数

在非分段点用求导公式求导（公式法）
在分段点用导数定义求导（定义法）

一般分段函数(绝对值函数也是分段函数需要注意)求导的题型都会先让学生根据题干所给条件求出分段函数g(x)的具体表达式，然后再对g(x)进行求导

3.2.2 复合函数

官方的教材对一元复合函数的求导使用的是和多元复合函数求导相同的链式法则，实际完全没必要，对于一元复合函数求导直接使用如下“洋葱法则”即可

洋葱法则：从函数最外层到最内层依次求导，不需要使用链式法则的中间变量

有些复杂函数不能简单的看作洋葱求导（因为硬求是求不出来的），如y=x^x^或y=x^根号2^*(x+3)^4^/(1-x)^2^（连乘除函数），需要化为y=x^x^=e^xlnx^或lny=ln(x^根号2^*(x+3)^4^/(1-x)^2^)

额外的，需要注意求导符号的位置

3.2.3 反函数

反函数的导数dx/dy等于直接函数的倒数1/(dy/dx) – 这里的直接函数y=f(x)是x作为因变量而y作为自变量，反函数x=φ(y)是y作为自变量x作为因变量！！！

需要注意对谁求导最后表达式要化简为关于谁的式子，这才是反函数求导的考点！！！

另外，反函数二阶导以及自变量和因变量互换的结论都应当记忆以提高解题速度（当然推导过程也应当会，推导过程具有理解意义）

3.2.4 参数方程

二阶参数方程的公式需要掌握推导方法（最好能背下来），很多情况下并不能简单的使用已求解出的一阶导数推出二阶，特别是一阶导数本身就有分式的情况下

PS：这种引入中间变量的方法在求解某些导数卡住的时候非常好用，可视为一种解题“利器”

3.2.5 隐函数

隐函数是指y不能表达成关于x的式子，主要有三种求导方法（一般情况下这三种方法都可以互相替换，但最好根据具体的情况选择最合适的方法）

直接求导法：直接等式两边同时对x求导即可，这种情况下需要注意y是x的函数
微分形式不变：说白了就是简单的复合函数求导公式推导而来的微分公式，这种情况下y仍然是x的函数

隐函数存在定理：详情参考[隐函数存在定理](# 2.2.1 隐函数存在定理(公式法))，这种情况下对x求偏导视y为常数，对y求偏导视x为常数

方法	适用情况
直接法	因为二阶导不具备微分形式不变和所谓的公式，故求解隐函数的二阶导只能用直接法（隐函数方程两边关于x连续求导两次）
公式法	一般在有x^y^和y^x^这种自变量和因变量互相纠缠的情况下选择公式法隔离x和y，而适用全微分需要借助对数工具适当变形，至于针对这种形式的隐函数直接求导几乎是不可能的（太难理解很容易出错）
全微分	全微分是最容易理解也是计算速度最快准确率最高的方式，能用的情况下尽量都选择全微分

3.2.6 高阶导数

求高阶导数主要有三种方法（这里所说的高阶导数是指n阶导数而非2阶导数）

(1)归纳法

该方法很直接，就是从低阶开始求导探索规律得到通式，一般情况下归纳法可以解决抽象型和具体型的函数的高阶导数问题

对于抽象型只能从低阶开始求导探索规律；
对于具体型可以适当对其进行恒等变形得到含已知高阶导的式子，进而搭配莱布尼兹公式进行加减乘除可得结果，下面是一些常见的高阶求导公式

重要高阶导数

重要高阶导数补充

(2)莱布尼兹公式

使用莱布尼兹公式解题的信号一般是两个函数乘积求高阶导（两个函数的加减法求高阶导较简单，狭义的莱布尼兹公式只关注乘法）

一般情况下两个函数乘积的高阶导数使用莱布尼兹公式；

对一个非乘积形式的函数求高阶导数较困难时，若能转换为两个函数乘积的形式，也可以用lai’bu’ni

上述式子就是莱布尼兹公式，其中u^(0)^=u，v^(0)^=v，一般两个函数乘积的高阶导数直接使用莱布尼兹公式；

(3)和函数展开

使用和函数展开的题目有很明显的特征，即规定求解函数f(x)在x0处的n阶导数才能使用，如果直接让求解f(x)的n阶导数，和函数展开是不能用的（这与其本质有关）

其实这里用和函数展开或泰勒展开都是可以的，尽管两者有一些细微的区别，可以参考[和函数展开](# 2.4 和函数展开)部分的思考与讨论。该方法的理论依据是任何一个无穷阶可导的函数f(x)在收敛的条件下都可以写成如下级数形式（此处的x0常常取值为0）

f(x)的零次导等于其本身；

使用和函数展开求高阶导数主要分为三个步骤：

抽象展开：任何一个无穷阶可导的函数都可写为抽象幂级数的形式
具体展开：对f(x)进行恒等变形，借助已知的泰勒公式将题目所给的f(x)展开成幂级数（具体展开时需要注意不要漏项）
利用泰勒展开式的唯一性，比较展开阶的系数即可得到结果

常用和函数展开如下

3.2.7 变限积分

求导变量x只出现在积分的上下限时才能使用上述公式，如果x出现在被积函数中则必须通过恒等变形（一般是换元）将其移出被积函数才能使用上述公式；

3.3 基本求导公式*

Q：为什么1/x的不定积分是ln|x|+C带绝对值？

A：X分之一的不定积分为什么是ln x的绝对值，通俗易懂点_百度知道 (baidu.com)；

补充说明一点，|1/x|的不定积分需要分情况讨论，当x>0时不定积分为ln|x|+C1，当x<0时不定积分为-ln|x|+C2；

五、一元函数微分学的应用

1.几何应用

1.1 极值与最值

1.1.1 基本概念

(1)极值的定义

极值：邻域内的最值

更准确的定义极值，分为广义极值和真正极值

注意：无论是广义还是真正定义，都要求f(x)在点x0的某个邻域内有定义

(2)最值的定义

最值：整个定义域上的最值

更准确的定义最值，分为广义最值和真正最值

注意：一般来说在真正极值和真正最值是教材中对极值和最值最常见的定义，此处给出广义定义和真正定义目的是为了提醒读者不要理所当然的认为这两个值只有一种定义；

(3)相关结论

结论1：极值不唯一，但极大值不一定大于极小值
结论2：最值唯一，但最值点不唯一
结论3：极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点
- 如果f(x)在区间I上的最值点x0不是区间I的端点而是I内部的点，则该最值点一定是一个极值点
- 若f(x)在区间I内可导且x=x0是f(x)在区间I内唯一的极值小/大点，则x0也一定是f(x)在区间I内的最值小/大点

Q_1：为什么最值点不一定是极值点？

A：函数的最值点是不是极值点？？？_百度知道 (baidu.com)

要注意一点，常说的无极值指的是既无极小值也无极大值，因此在验证函数在某个区间无极值的时候需要同时考虑这两方面；

举例说明，y=f(x)=x，如果定义在[0,1]上，其最大值点是1，但x=1不是y=x的极大值点。因为x=1根本就不存在有定义的邻域使得f(x)<=f(1)，x=1的右半邻域已经超出了f(x)的定义域。不考虑x=1这个点，那么对于[0,1)上的任意x0，无论U(x0)取值多小都不可能满足总有f(x)<=f(x0)因为f(x)本身就是一个单调增的函数。由此可见f(x)在[0,1]上不存在极大值点，亦不存在极小值点，因此f(x)在[0,1]上不存在极值；

而极值点不一定是最值点很好理解此处不再赘述；

Q_2：间断点可以是极值点吗？

A：当然可以，因为极值点考虑的是邻域（或者去心邻域）内的点的函数值与该点函数值的大小关系（言外之意就是和函数的连续没有关系），下面几个例子证明了间断点可以是极值点

1.2 单调性与极值点

1.2.1 单调性(一阶导数)

使用导数判断函数的单调性是一种方式

若f(x)在区间I上有f’(x)>0则f(x)在I上严格单调增加；
若f(x)在区间I上有f’(x)<0则f(x)在I上严格单调减少；

当然除了严格单调以外，也可以定义非严格单调

若f(x)在区间I上有f’(x)>=0，且等号仅只在有限个点成立，则f(x)在I上单调增加；
若f(x)在区间I上有f’(x)<0，且等号仅只在有限个点成立，则f(x)在I上单调减少；

另一种常见的方式是函数值做差判断，详情参考[单调性](# 1.1.1 单调性)

1.2.2 极值点

(1)必要条件

函数在某点取得极值的时候有什么性质？

必要条件：若f(x)在x=x0可导（大前提），则f’(x0)=0是f(x)在x0取得极值的必要条件；（即当在x0点取得极值的时候必然有f’(x0)=0，反之不一定成立，该定理被称为费马定理）

PS：对于不可导的点不能根据这个必要条件的逆否命题判断不可导点不是极值点，这是一大陷阱；

(2)充分条件

如何判断函数在驻点或不可导点是否可以取得极值（换句话说就是如何判断驻点或不可导点就是极值点）？这里给出判断函数极值点的三个充分条件

第一充分条件：若f(x)在x0连续且在x0的某去心邻域可导(一阶可导简称可导)，则f’(x)在x0的左右邻域变号是f(x)在x0取得极值的第一充分条件；

第二充分条件：若f(x)在x0处二阶可导且f’’(x0)!=0，则f’(x0)=0是f(x)在x0取得极值的第二充分条件，且

当f’’(x0)<0，x0为极大值点

当f’’(x0)>0，x0为极小值点

当f’’(x0)=0无法使用第二充分条件判断

由上述第二充分条件可以推导出第三充分条件，用f(x)的高阶导来判断x0是否是极值点

第一充分条件和第二充分条件非常好理解。

第一充分条件因为其使用条件是x0的某去心邻域，因此可以用于判断不可导点是否是极值点。

第二充分条件只能用于f(x)在x0该点可导的情况，因为二阶可导必须基于一阶可导。

1.3 凹凸性与拐点

1.3.1 凹凸性(二阶导数)

凹凸性的定义

实际上，可以使用更一般的式子判断曲线的凹凸性，即

上述定义方法考虑的是弦与曲线的位置关系，从而定义曲线的凹凸性，实际上也可以利用切线与曲线的位置关系定义凹凸性

不等式左边实际就是曲线f(x)的切线方程，其几何意义如下

判别曲线凹凸性的充分条件如下，设函数f(x)在I上二阶可导

若在I上f’’(x)>0则f(x)在I上的图形是凹；
若在I上f’’(x)<0则f(x)在I上的图形是凸；

1.3.2 拐点

连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。需要注意的是，极值点可以是间断点但拐点必须是连续点！！！

(1)必要条件

必要条件：当二阶导数存在时（大前提），函数的二阶可导点是拐点的必要条件（即拐点可以推出该点的二阶导数值为0 – 对于不存在二阶导数的点不能用该结论确定该点不是拐点）

实际上，曲线的拐点只可能有两种情况，一种是二阶导存在且为0，另一种是二阶导数不存在，如图所示

(2)充分条件

第一充分条件：若f(x)在x0连续且在x0的某去心邻域内存在二阶导数，则f’’(x)在x0左右邻域变号是拐点的充分条件

第二充分条件：若f(x)在x0点处三阶可导，且f’’(x0)=0，f’’’(x0)！=0则(x0,f(x0))为曲线的拐点

当f’’’(x0)=0时无法用第二充分条件判断

与极值点类似的，可以由第二充分条件推导出第三充分条件

1.3.3 知识点小节

前面的理论性知识比较多，下面直接例举出在解题时如何快速判断处极值点、最值点以及拐点。在此之前先介绍不可导点这一概念

不可导点：不可导点也就是左导数的值不等于右导数的值的点。简单来说，初等函数在其定义域内均可导。因此判断不可导点时考虑分段函数的分段点、定义域的端点以及函数间断点（具体问题具体分析）

另外，因为极值点、单调性、凹凸性与拐点的概念相互交叉容易混淆，下面整理了一个表格进行横向对比记忆

单调性	凹凸性
充分条件：若f(x)在区间I上有f’(x)>=0，且等号仅只在有限个点成立，则f(x)在I上单调增加；若f(x)在区间I上有f’(x)<0，且等号仅只在有限个点成立，则f(x)在I上单调减少；	充分条件：若在I上f’’(x)>0则f(x)在I上的图形是凹；若在I上f’’(x)<0则f(x)在I上的图形是凸；

无论是单调性还是凹凸性，其定义都是在整个区间上而非某个点上，因此如果题干仅仅只表明f’(x0>0或f’’(x0)>0即一个点的信息，是没有办法确定在整个区间上的单调性或凹凸性的)。

极值点	拐点
必要条件：若f(x)在x=x0可导，则f’(x0)=0是f(x)在x0取得极值的必要条件；	必要条件：当二阶导数存在时，函数的二阶可导点是拐点的必要条件
第一充分条件：若f(x)在x0连续且在x0的`某去心邻域可导`(一阶可导简称可导)，则f’(x)在x0的左右邻域变号是f(x)在x0取得极值的第一充分条件；	第一充分条件：若f(x)在x0连续且在x0的`某去心邻域内存在二阶导数`，则f’’(x)在x0左右邻域变号是拐点的充分条件
第二充分条件：若f(x)在x0`处`二阶可导且f’’(x0)!=0，则f’(x0)=0是f(x)在x0取得极值的第二充分条件，且当f’’(x0)<0，x0为极大值点当f’’(x0)>0，x0为极小值点	第二充分条件：若f(x)在x0点`处`三阶可导，且f’’(x0)=0，f’’’(x0)！=0则(x0,f(x0))为曲线的拐点

关于极值点和拐点，有如下总结性结论，在解题时如果能运用将极快提高解题速度

最后，需要注意考研数学中如下几个“点”之间的差异：

驻点是一阶导数为0的x的值x0
拐点是二阶导数为0的坐标(x0,f(x0))（这么说不准确，因为二阶导数值为0只是拐点的必要条件）
零点、驻点、极值点都是x的值，拐点是坐标

(1)最值的计算

一般来说最值的题目分为开区间上的最值和闭区间内的最值，根据最值定理可知闭区间一定存在最值；而闭区间不一定存在最值，若存在则最值一定在区间内不取得

求闭区间上的连续函数的最大值和最小值
- 计算f(x)在定义域内所有的驻点和不可导点以及端点的值，比较并确定范围
求开区间上的连续函数的最大值和最小值（这类问题可能没有最值）
- 计算f(x)在定义域内所有的驻点和不可导点的值，还有左端点的右极限值A和右端点的左极限值B，比较并确定范围

(2)极值点的计算

理论依据

一阶可导点的导数值为0（驻点）不一定表示该点为极值点（必要条件），比如这条直线上的所有点的一阶导都为0，但很明显每个点都不是极值点；

(3)拐点的计算

理论依据

二阶可导点的导数值为0不一定表示该点为拐点（必要条件），比如这条直线上的所有点的二阶导都为0但很明显每个点都不是拐点

1.4 渐近线

求渐近线的题目按照流程来依次求解铅垂渐近线、水平渐近线以及斜渐近线。需要注意在同一个方向上斜渐近线和水平渐近线是不可能同时存在的，而在不同方向两者是可能同时存在的

1.4.1 铅垂渐近线

此处的c要么是函数的无定义点，要么是函数定义区间的端点或分段函数的分段点

1.4.2 水平渐近线

1.4.3 斜渐近线

斜渐近线的前两种情况如下图所示

1.4.4 渐近线的求解

在求解渐近线的题目中我们不需要提前判断渐近线是否存在，直接上手计算，如果计算不出相应的结果那么相应的渐近线就不存在

关于铅锤渐近线，x->c^+^或x->c^-^中的c点一般是无定义的点，所以在求铅锤渐近线的题目中我们可以直接找特殊的点（如求y=1/x+ln(1+e^x^)的铅锤渐近线我们可以直接计算limx->0^+^f(x)的值是否是无穷）
求解水平渐近线是最简单的，只需要把x分别趋于+∞和-∞计算得到的就是水平渐近线的表达式
关于斜渐近线中a、b的计算方式，只需无脑代入x->+∞/-∞，先求解a再求解b

1.5 函数作图

函数作图的基本步骤如下：

确定函数的定义域并考虑函数在区间上是否具备对称性；
分别用一阶导数和二阶倒是确定函数的单调性、凹凸性以及极值点、拐点
若函数有渐近线，确定函数的渐近线

我们直接给出一道例题帮助理解

首先确定函数的定义域
接着求出所有的一阶导数为0的点（驻点）、一阶不可导点，确定函数在各个子区间上的单调性和极值点
然后求出所有的二阶导数为0的点、二阶不可导点，确定函数在各个子区间上的凹凸性和拐点
最后确定函数的渐近线（可能不存在某条渐近线，但最好都计算一下）

最后做出图形即可

Q：为什么要求不可导点？

A：

不可导点是划分子区间的一个重要端点；
不可导点也可能是极值点或者拐点，但是不能使用第二充分条件判断，因为顺带要求解单调性和凹凸性，所以我们可以先将单调性和凹凸性求解出来之后再进行判断；

1.6 切线、法线与截距

读者应当熟记以下表格中的内容

注意截距并不是距离，截距可正可负

1.7 曲率和曲率半径

2.物理应用

在介绍物理应用之前先介绍一个重要的概念 – 相关变化率，实际上就是将未知变化率的求解转换为已知变化率

一元导数的物理意义非常简单，主要就是速度和加速度的计算公式

六、中值定理*

中值定理这一章的几个微分中值定理和函数中值定理中的介值定理尤其重要，这一章的题目一般都非常难，是考研中证明题的核心，需要大量刷题总结；

中值定理按照研究对象的不同可以分为三类：

研究对象为函数f(x)：函数中值定理
研究对象为导函数f’(x)：微分中值定理
研究对象为函数的f(x)的积分：积分中值定理

1.微分中值定理

1.1 柯西中值定理

柯西中值定理的证明不作要求，但一定要注意不能使用两次拉格朗日中值定理来证明柯西中值定理，因为柯西中f’(x)和F’(x)的ξ是同一个值；

柯西中值定理可以看作是无条件使用（F’(x)不为0是因为要作分母）；

柯西中值定理的考点在于题干一般不会给出具体的f(x)和F(x)，一般f(x)和F(x)一个是具体函数（其形式需要仔细侦察才能发现），一个是抽象函数；

1.2 拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的两个条件都是套话，这意味着拉格朗日定理的适用范围很大（几乎无条件使用）

拉格朗日中值定理中的a和b更习惯写为x和x0，以此可以用导数来控制函数

拉格朗日的变体形式如下（需要知道，避免考题出现时脑子一片空白）

1.2.1 应用

题干中出现f-f或者是复杂类型的导数表达式f'，一般需要使用拉格朗日中值定理，和罗尔中值定理一样，都需要先构造(一般构造的都是变限积分)

1.3 罗尔中值定理*

（罗尔中值定理可以由费马定理推导得到，但是罗尔定理的证明不作要求故不介绍）

罗尔定理的前两个条件都是套话，关键在于区间端点处的函数值相等，即解题的方向就在于千方百计的验证f(a)=f(b)

关于罗尔定理的推广（无论怎么推广，基本的思想都是端点或端点的单侧极限值相等，在区间中必然存在一点使得在该点的一阶导数为0（斜率为0））

1.3.1 应用

罗尔定理在运用中不会明显的给出f(x)，常常需要构造辅助函数F(x)（一般会要求证明一个式子成立，我们根据该式子的特点构造F(x)，用γ∈(a,b)，F’(γ)=0证明）；

另一方面，在还原之前先将公式中的ξ还原为x，比如f'(ξ)+αf(ξ)=0先将其还原为f'(x)+αf(x)=0，然后令F(x)=f(x)e^αx^即构造完成，之后只需要找到使得函数值相等的两个点F(a)=F(b)即可；

使用罗尔中值定理证明一阶导数为0只需要一次，但是当要求证明二阶导数为0就需要多次使用罗尔中值定理，考点就在于找到函数值相等的三个不同点f(a)=f(b)=f(c)

1.4 费马中值定理

第一个条件是套话，第二个条件是重点

1.4.1 证明

关于费马定理需要掌握它的证明，主要分为两步，分别根据在x0点取得极值（极小值或极小值证明其一即可）且在x0可导（左导数等于右导数）

1.4.2 应用

在证明开区间(a,b)中某点导数为0的题型中，除了可以构造辅助函数使用罗尔中值定理以外，也可以使用费马定理。使用费马定理只需要指出可导函数的最值在区间内部取得（因为区间内部的最值一定是极值，当然正面求解区间内部的最值点不现实，常规方式是证明两个区间端点不是最值点反推最值点在区间内部），使用费马定理的题型一般带有不等式关系条件

1.5 泰勒中值定理

泰勒中值定理也称为泰勒公式、泰勒展开（因为其核心就是两个重要公式），泰勒公式的意义在于使用高次多项式来逼近函数f(x)

1.5.1 泰勒中值定理1

带拉格朗日余项的n阶泰勒公式定义

上述公式适用于区间[a,b]，常用于证明不等式、中值等式等

1.5.2 泰勒中值定理2

带佩亚诺余项的n阶泰勒公式

上述公式仅适用于点x0及其邻域，常用于研究x0处的某些结论如求极限、判极值等

1.5.3 麦克劳林展开式

当x0=0时的泰勒公式被称为麦克劳林公式，下面几个是需要记忆的麦克劳林展开式

Q：前面已经分别在[函数极限与连续性](# 1.3 泰勒公式)、[一元函数微分学](# 3.2.6 高阶导数)中分别出现过泰勒展开式，那么泰勒展开和和函数展开究竟有什么区别？

A：这个问题需要在学习了级数之后才能完全解答，这里给出两者在概念上的区别

2.函数中值定理

函数中值定理的前提条件就是f(x)在[a,b]上连续，但是基本上这个条件就是一个套话，题干一般默认给出

一般称定理1为最值定理，可以描述为“闭区间的连续函数必定有上下界，且该上下界就是该函数在该区间的最大值和最小值”；

一般最值定理和介值定理联合使用，介值定理中的m和M分别是f(x)在[a,b]上的最小值和最大值 – 介值定理是该部分最重要的定理，当题干出现ξ=[a,b]即闭区间则无脑考虑介值定理；

平均值定理不常用，需要注意的就是该定理是由最值定理和介值定理联合使用的典范；

零点定理可以看作是特殊的介值定理，其中的μ=0，即端点值异号时必定有m<0<M，因此有f(ξ)=μ=0（注意端点函数值不能取0，即开区间(a,b)），这个定理在零点问题中常用；

与零点定理非常相似的一个不属于十大定理的“导数零点定理”，它是使用罗尔定理和费马定理推导出来的，其叙述如下

千万不能与零点定理混淆，函数f(x)可导必定连续，但是f(x)连续不一定可导；

3.积分中值定理

[积分中值定理推广](#7.1.1 中值定理)

积分中值定理

上述积分中值定理还能使用拉格朗日证明得到ξ∈(a,b)上该等式仍成立（开区间成立的闭区间一定成立，反之不一定）；

拉格朗日中值定理证明积分中值定理，柯西中值定理证明推广的积分中值定理（这刚好对应柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广）

积分中值定理是一个非常重要的用于处理复杂/抽象积分的定理，我们可以将一些复杂的积分转换为f(ξ)(b-a)的形式（另一种解决复杂积分的手段是将其用变限积分解决）；

积分中值定理与平均值定理完全等价，两者都是使用最值定理+介值定理推导得到，平均值定理可以认为是离散的均值，积分中值定理可以认为是连续的均值；

4.微分等式和微分不等式

4.1 微分等式

微分等式也称为函数的零点、方程的根、曲线的交点问题，讨论微分等式主要有以下两个方法：

零点定理：主要用于证明根的存在性
单调性：主要用于证明根的唯一性

额外有两个小工具适合解决解题过程中的某些步骤：

罗尔推广：罗尔定理的推论
实系数奇次方程定理：实系数奇次方程至少有一个实根

4.1.1 零点定理

零点定理的推广类似于罗尔定理的推广，零点定理的推广主要拓展原始零点定理的闭区间为开区间，同时端点或端点值可以取有限数也可以是无穷大；

4.1.2 单调性

其实此处应该是用导数工具研究函数性态，但针对微分等式问题基本只会研究单调性

f(x)在(a,b)内单调也可以说是一阶导数f’(x)在区间(a,b)存在且不等于0；

4.1.3 罗尔推广

罗尔推广实际上就是罗尔定理的推论

用通俗易懂的语言解释就是“导数方程至多有k个根，那么导数阶数降n阶的函数方程，至多有k+n个根”

常见的解题方式是给出f^(n)^(x)!=0，那么可以得出f^(n)^(x)=0至多0个根，则f(x)=0至多n个根；

罗尔推广的逆否命题为“若f(x)=0有(高数中的有都表示至少存在)k+n+1个根，则f^(n)^(x)至少有k+1个根”，配合n次多项式至多有n个根可以快速解决某些题；

4.1.4 实系数奇次方程定理

Q：什么是实系数奇次方程？

A：一元整式函数或方程的未知数最高次数就是函数或方程的次数，而这个次数是奇数，就是奇次方程，同时未知数的系数是实数，就是实系数奇次方程；

任何实系数奇次方程

下面给出证明“任何实系数奇次方程至少有一个实根”

简单理解就是因为实系数奇次方程在x->+∞和x->-∞的时候f(x)取值分别是+∞和-∞，根据零点定理可知f(x)图像和y=0至少有一个交点；

4.1.5 解题框架

微分等式这一节主要有两种题型：

一是证明恒等式，这种非常好解决，因为根据拉格朗日中值定理可知当f’(x)=0时函数的值是不变的，因此解题步骤如下
1. 记f(x)为等式某一端的表达式，对其求导可得f’(x)=0
2. 任取区间内的一点使得f(ξ)=等式另一端的表达式，因为f’(x)=0故在区间上的任何一点的函数值都等于f(ξ)
二是判断函数的零点个数（方程根的个数、曲线交点的个数），解题步骤如下（这只是一个一般性的思想，不可能解决所有的问题，解题的时候一定不要局限在框架中跳不出来）：
1. 分析该函数奇偶性，是否可以将定义域划分讨论；
2. 求解f’(x)的表达式，根据f’(x)与y=0的交点个数
  - 可以适当用Δ=b^2^-4ac判断解的个数；
  - 当已知定义域内某部分的f(x)恒大于或者小于0时可以不考虑这部分的单调性，求解定义域剩余部分的f(x)单调性 – 缩小定义域是一种关键手段；
3. 根据单调性以及端点值的正负(一般来说不需要算出具体的端点值，只需要判断出其正负即可)可以大致做出定域内f(x)的图像，进而判断f(x)零点的个数；
  - 对于求解f’(x)的零点个数的问题适当使用罗尔推论；
  - 一般地，最终结果应当由“至少k个根”和“至多k个根”一起限定得到在定义域上恰好存在k个根

4.2 微分不等式

Q：为什么叫做微分不等式？是因为题干中的不等式包含微分形式吗？

A：微分不等式并不意味着待证明的不等式是包含导数或微分的，而是我们在证明某些不等式的时候可以将其转换成f(x)，进而利用的微分/导数形式求解；

这一小节和零点问题的求解步骤几乎一致，主要考察两种问题一个是求解零点的个数一个是求解函数与y=0的大小关系；

证明微分不等式主要有以下两种主流方法：

函数性态（单调性、凹凸性、最值） – 与零点问题不同的是证明微分不等式几乎都需要求解二阶导数判断凹凸性
中值定理（拉格朗日中值定理或泰勒公式）
- 使用中值定理的题型一般都有非常明显的特征，主要思路在于根据等式的项的放缩进而得到不等式关系；
- 中值定理的使用是有难度的，但是针对某些题只有用中值定理解决，因此这种方法也需要掌握；

当然还有一些小技巧可以帮助解题：

常量变量化 – 如果欲证的不等式中都是常量，则可以将其中一个或者几个常量变量化，再利用相关导数工具去证明
- 一般对于复杂的表达式，会将多个常量变量化比如令x=λx1+(1-λ)x2
对于连续不等式的证明，基本思想就是拆开证明
- 在证明两个不等式的时候可以先观察两者是否有相同可以约去的项或者可以使用放缩化简的项
  - 因为ln(1+x)<x，所以要证明ln(1+x)/(1+cosx)<2x/(1+sinx)就只需要证明1/(1+cosx)<2/(1+sinx)

4.2.1 单调性

上述等号只在有限个点取得，称为非严格单调性，若不带等号称为严格单调性（前面有介绍）
如果是闭区间[a,b]则可以使用F(a)和F(b)代替极限（能够取值就取值，不能取值就取极限）
开区间(a,b)既可以是有限区间也可以是无穷区间

4.2.2 最值

这种思想将不等式问题转换为求解函数最值得问题，是一种不容易想到的方法

4.2.3 凹凸性

4.2.4 拉格朗日中值定理

之所以可行是因为拉格朗日中值定理中的ξ自带放缩关系，因此可以进一步的得到F’(x)的不等式关系

4.2.5 柯西中值定理

4.2.6 带拉格朗日余项的泰勒公式

5.刷题小结

早在一开始就已经声明这一章难度非常大，除了需要熟练记忆所有的中值定理公式外，还需要掌握一定的能力，做到一看到题就知道应该使用什么定理。下面是刷题时的一些总结，后续还将不断补充。

5.1 辅助函数

考题中辅助函数的构造并不是重点，一般考题会直接给出辅助函数的形式或使用积分常数变量化就能得到，稍难一点的情形全部总结在下面

5.2 定理选择

此处总结的定理选择非常全面和准确

5.3 基本经验

以下是一些解题过程中常用的基本结论，如果能在解题的时候想起来可以较轻松的解决一些难题

七、一元函数积分学

1.不定积分

1.1 原函数和不定积分

结论1：不定积分是全体原函数的集合(记作F(x)+C)，原函数是不定积分集合中的任意一个元素(记作F(x)，其具体形式使用[变限积分](# 3.2 变限积分性质)表达)；

函数f(x)定义在某区间I上，若存在可导函数F(x)，对于区间I上的任意一点都有F’(x)=f(x)成立，称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，称为f(x)在区间I上的不定积分

不定积分的几何意义：一组平行的曲线簇

结论2：f(x)的原函数和不定积分都必须指明f(x)的区间I，只有在“一个区间”上定义的不定积分才是明确无误的（未指明区间默认是定义域）；

原函数F(x)必须在区间I上处处可导才能说F(x)是f(x)的原函数，否则F(x)不符合原函数的定义

结论3：f(x)在一个区间上的任意两个原函数之间只相差一个常数C；

1.2 原函数存在定理

结论1：连续函数f(x)一定有原函数F(x)

求导必须保证函数图像光滑且连续，但是求原函数甚至不需要保证函数连续（含有振荡间断点的函数可能有原函数）

结论2：含有第一类间断点(可去间断点、跳跃间断点)和无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内一定没有原函数F(x)

另一种说法是导函数F’(x)在I内一定没有第一类间断点和无穷间断点，而含有振荡间断点的函数f(x)有可能有原函数F(x)，我们只需要找出F(x)使得F’(x)=f(x)即可验证f(x)有原函数；

结论3：可导函数F(x)求导后的函数F’(x)=f(x)不一定是连续函数，若有间断点只能是振荡间断点

1.3 原函数性质

（1）连续的奇函数的一切原函数都是偶函数，连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数(因为奇函数必须满足过坐标原点)；

（2）微分运算和不定积分运算是互逆的，即对微分求积分和对积分求微分会抵消或抵消后相差一个常数

1.4 不定积分积分法

无论是不定积分还是定积分的考研题型技巧性都不会很强，特别依赖公式所以公式非常重要！！！这一章涉及非常多的[三角公式](# 3.三角函数)也需要记忆；

初等函数的原函数一定存在，但某些初等函数的原函数不能用初等函数表示，这里仅罗列不要求记忆。一般遇到这种类型的就不要继续往下硬求积分了，考虑使用性质或者交换积分次序/求导等手段解题

1.4.1 基本积分公式*

(1)重要积分公式

以下积分公式要求全部记忆

Q:上面的个别积分公式可能会引起疑惑，比如为什么只给了1/(1+x^2^)的原函数却没给-1/(1+x^2^)的原函数呢？如果利用积分的性质，直接将被积函数中的负号提出再求积分，岂不是原函数分别是arctanx+C和-arctanx+C?

A：实际上并没有问题，对于-1/(a+x^2^)来说，其原函数既可以是-arctanx+C也可以是arccotx+C，因为有定理arctanx+arccotx=Π/2，所以arccotx+C=Π/2-arctanx+C=-arctanx+C；

上面的例子也给我们这样一个启发：导数互为相反数的原函数并不一定是相反数，但它们的和一定是一个常数；

(2)补充积分公式

(1)lnx的原函数
$$
∫lnxdx=xlnx-x+C
$$
（2）带有根号下x^2^+a^2^和根号下x^2^-a^2^的不定积分；

（3）傅里叶部分常用

1.4.2 凑微分法

1.4.3 换元法

换元法的基本思想

与凑微分法往积分变量中提取不同，换元法是将d内部的往外提取，且需要显式进行中间变量的替换，最终用反函数替换得到关于x的表达式。简单来说这就是把x换成关于t的表达式，使得被积函数容易积分，最后用t关于x的表达式回代。

换元法主要消除被积函数中的根号，当然也可以解决一些其他类型的不定积分，主要总结如下的换元法题型（下面的换元优先级从高到低） – 换元法一定要注意换元前后的定义域！！！且不要忘了回代表达式

一个验证换元是否正确的方式是看换元之后的积分是否比之前的积分简单或难度相当，否则思路可能出错

1.4.4 分部积分法

分部积分法的基本公式如下

一般使用分部积分法都需要使用多次，一般选择积分后“简单”的作为v，而微分后“简单”的作为u

u的优先选择顺序应该是：反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，简称为“反对幂三指”，微分难度递增（这里三角函数和指数函数可以交换顺序）

相对的，v的优先选择顺序应该是：“指三幂对反”，积分难度递增

连续使用分部积分法的时候一定要把上一次的分部积分形式解出来才能继续使用分部积分

根据分部积分法的特点，对于被积函数中含有f’(x)以及∫f(x)dx形式的积分一般都使用分部积分解决（这种问题称为升降阶问题，千万不要把积分或导数求出来再代入计算，会很麻烦）

分部积分的推广公式如下

上述推广公式主要用于快速计算多次使用分部积分的题型，对于含三角函数或n次多项式的分部积分尤其有用；

实际上述公式可以使用表格法形式化记忆（结束的标志是u求导为0或者运算n次后积分再现）

1.4.5 有理函数的积分

分子多项式的次数小于分母多项式(头轻脚重)称为真分式，否则称为假分式(头重脚轻)

利用多项式的除法，总可以将一个假分式变换为一个真分式
对于真分式，若分母在实数域内可以进行因式分解，则整个真分式可以拆成若干最简有理分式之和

有理分式的积分的本质就是对真分式的分母进行因式分解，即“将整个真分式拆成若干项最简有理分式之和”，一般使用待定系数法解决

注意：

此处的有理函数特指有理分式，即分子和分母都是高次多项式的分式

对分母进行因式分解，是在实数域内而不要涉及复数，诸如x^2^-x+1是没办法在实数域上进行分解的因此不能用有理函数的积分法，而用凑微分等解决

(1)待定系数法

使用待定系数法对真分式进行分解的理论思想如下

通过下面这些例子可以牢牢掌握待定系数法的基本用法（分子究竟是常数还是多项式对于待定系数的设定没有任何影响，只看分母）

1.4.6 方法总结

求解不定积分的所有题型归根结底都是围绕[已知基本积分公式](# 5.1 基本积分公式*)，高级技术手段无非就是凑微分(又称第一类换元)、换元(又称第二类换元)以及分部积分

最简单的类型就是原式能观察原式凑出基本积分公式中的形式
- 凑微分也可能是逐项凑微分，也就是先将最简单的式子放入微元然后继续将复杂的式子放入微元
- 若被积函数非常复杂，则找最复杂的部分进行求导操作，往往能够发现一些规律（较难的凑微分硬看一般看不出来，所以进行求导操作可以识别g’(x)）
- 针对某些“头轻脚重”分分式，因为正三角的性质比较稳定不容易拆分，我们一般分子分母同时乘以某个数将其化为“头重脚轻”的倒三角式，进而逐个击破
不能直接凑微分的式子，使用分部积分或换元法化简原式，最后凑出微分（凑微分的优先级是最低的）
- 当出现根号的时候考虑换元法（换元法一定要注意限定t的范围）
  - 不需要有理化！不需要有理化！不需要有理化！前面极限有理化是为了方便计算，此处就算有理化过后也得换元没有意义；
  - 对于复杂的表达式，有时候需要先进行配方等恒等变化才能换元，否则换元后也解决不了问题
  - 当出现三角函数时考虑常见的三角恒等变换（半角公式、和差化积…）后再进行化简处理
  - 某些复杂的题型是可能出现两次换元的，因此最终回代也需要进行两次回代
- 分部积分常用于凑微分和换元统统失效时的“杀手锏”
  - 当出现反三角函数、根号等复杂表达式并未知应该对谁换元时，直接用分部积分可能出现奇效
  - 分部积分的另一种应用就是分部处理过后可能出现与原式相同的积分表达式，此时可以将复杂积分等价为简单积分的计算（除了创造积分再现或积分抵消的情况，还有可能创造出递推关系）

有理分式/函数的积分通常作为不定积分计算过程中的题型出现，只需要牢牢掌握待定系数法即可（需要注意有理函数积分是在有理数域上！！！不是所有的分式都可以在有理数域上进行分解）

2.定积分

2.1 定积分的定义

一元定积分也称为一重定积分，其几何意义为曲边矩形的面积；

2.1.1 原始定义

定积分的定义

其中ξi是Δxi上任意的一个取值；

“a到b上的定积分”不一定表示a<b，出现a>b的情形是完全可以的；另外这里的[a,b]是指闭区间（网上说的是开闭区间都可以，但严谨来说黎曼积分就是闭区间）

定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量的记法无关，即积分变量无论是x还是t，最后的结果都是相同的；

定积分的值不带常数C，因为常数-常数=0；

2.1.2 精确定义

使用定积分的精确定义，主要是为了计算一些特殊形式的数列极限 – 定积分精确定义和夹逼准则是计算数列极限的重要方法

定积分的精确定义如下（考研重点），其中f(a+(b-a)i/n)是矩形的高，(b-a)/n是矩形的宽

将式子中的a,b特殊化为0,1可以得到这样一个式子

一般来说只要构造出i/n和1/n就可以直接替换成x和dx，进而使用定积分求解数列极限。因此使用定积分求解数列极限的三个步骤

先从通式中提取出1/n
再在通式中凑i/n
将数列通式中的i/n和1/n替换成x和dx得到被积函数和被积表达式，积分区域为[0,1]

Q：如何从原始定义到精确定义？

A：参考如何理解定积分原始定义中的极限符号？ - 知乎 (zhihu.com)，需要注意的是一定是先有原始定义再有特殊定义

Q：为什么会有精确定义？

A：本来是没有定积分的精确定义，但是在计算数列极限的过程中发现某些数列极限的形式和定积分的原始定义非常相似，所以对其进行改造得到了精确定义，主要用于计算数列极限；

2.2 定积分存在定理

此处所说的可积性质都是指的常义下的，即“区间有限，函数有界”，这与之后所说的“区间无穷，函数无界”的反常积分有区别

2.2.1 充分条件

我们称满足以下定积分存在定理的函数f(x)是可积的（可积是指定积分存在而非不定积分，不定积分与原函数等价）

4.原函数存在定理和定积分存在定理没有任何关系，可以参考如下关系图

以上结论表明，函数是否可积和原函数是否存在没有必然关系

若f(x)在[a,b]存在原函数，在[a,b]上不一定存在定积分（可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积）
若f(x)在[a,b]上不存在原函数，在[a,b]上仍然可能存在f(x)的定积分

5.上述三点可积的充分条件都可以归结为一点就是第三点，因为连续函数在闭区间上必定有界(最值定理)，而单调函数在闭区间上也必定有界(且有有限个间断点，自行作图就能理解)

关于第三点充分条件容易和无界函数的反常积分混淆，定积分和反常积分是两种不同类型的积分！！！f(x)在某点邻域无界则一定没有定积分，但其反常积分可能收敛；

2.2.2 必要条件

该必要条件的逆否命题是若f(x)在[a,b]上无界，则定积分不存在(该结论常用于断定f(x)在[a,b]上不存在定积分)；用面积理解无界指的是某个Δx对应的高是∞，则该部分面积是∞故极限不存在，进而定积分不存在

2.3 定积分性质

积分有线性性质即k1f(x)+/-k2g(x)的积分等于k1f(x)的积分+/-k2g(x)的积分，但是，不存在将f(x)·g(x)的积分拆为f(x)的积分乘以g(x)的积分这样的性质；

上述几个性质是基本性质，下面的则是有关定积分的比较重要的两个定理

2.3.1 估值定理

2.3.2 中值定理

该中值定理就是前面中值定理章节介绍过同时证明过的[积分中值定理](# 3.积分中值定理)；

2.4 定积分比大小

定积分比较大小这种题型常作为选择题出现，针对积分较简单的可以尝试直接用牛莱公式、定积分的奇偶性等直接计算

而针对某些较复杂的积分，主要使用保号性解决，主要分为三种题型：

区间相同被积函数不同：常利用积分的保号性解决
区间不同被积函数相同：利用换元法，将区间换元为相同的区间转换为第一类比较大小的题型
区间不同被积函数也不同：利用换元法将区间转换为相同区间，即第一类比较大小的题型

换元法常用到以下诱导公式需要记忆（实际就是三角变换公式）

2.5 定积分积分法

定积分的计算可以借助牛莱公式转换为前面介绍的不定积分计算，但牛莱公式不适用于有无限个间断点的情况，换句话说牛莱公式并不是万能的（考研题如果让求解必然是满足牛莱使用条件的所以不用考虑这个问题，这里只是做一个提醒）

牛莱公式

牛莱公式的推广：在积分区间[a,b]上存在有限个间断点的被积函数f(x)，只要在[a,b]上存在原函数，牛莱公式仍然成立

牛莱公式极大的简化了定积分的计算，将计算一个连续函数在区间[a,b]上的定积分的问题转换成计算该函数的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量

结合牛莱公式和不定积分的计算方法，可以得到定积分换元以及定积分的分部积分

2.5.1 定积分的换元积分法

如果在换元的过程中没有显式的写出新变量t则不要变更积分的上下限；
定积分的换元可能会让初学者产生误解，一种平替的方法是使用牛莱公式+不定积分换元（好理解但是计算量往往会比直接定积分换元麻烦）

Q：在换元的时候究竟需不需要考虑换元函数的单调性？？还是只是简单的代入值就可以了？那么三角函数换元又应该如何解释？

A：在不定积分的换元法中规定了换元函数必须是单调可导函数，但是在定积分的换元法中并没有规定这一点，而实际上定积分中的换元函数是否需要具备单调性不重要，因为强调了只需要端点值对应即可；

那么有些人可能会考虑x=1，x=sint，那么t不是可以取多个值？这忽略了x>0，t∈(0,Π)这一条件；

如果实在是存在疑问，那么就认为定积分中的换元函数必须在给定区间内单调；

2.5.2 定积分的分部积分法

2.5.3 特色计算

定积分的计算区分于不定积分的计算主要在可以使用一些性质辅助求解，比如对称性、几何意义以及点火/华里士公式、区间再现公式等，因此定积分的计算相对于不定积分来说计算量更小但更加灵活

基本结论

(1)二次积分转换

在面对一些较难的一重积分问题时可以考虑使用换元、平方等方式转换为二次积分解决（即可以用二重积分/二次积分处理某些一元积分的问题）

(2)对称区间下的计算

定积分在对称区间上的基本结论如下

对于前两点可以简记为“偶倍奇零”，当然一般情况下并不会直接给出这种形式，而是需要经过换元“平移”处理后再利用该性质

对于第三点，使用的并不是f(x)的奇偶性，而是利用了f(x)+f(-x)可能更容易积分的性质（这在定积分计算中是一种很常规的想法）

(3)周期性下的计算

周期性的一个常规知识点是，若函数以T为周期则函数也以nT为周期

(4)区间再现

准确的说区间再现并不是指某个具体的公式，而是一种换元思想。一般另x=a+b-t进行换元，其中a和b分别是定积分的上限和下限(对于积分区间为[Π/2,Π]使用x=Π-t换元可以将积分区间将为[0,Π/2]) – 一般在计算定积分的题中出现复合的三角函数使用该方法换元，使用的时候注意换元对应的上下限，使用区间再现一般都是将难以计算的积分等价于另一个好计算的积分；

(5)华里士公式

华里士公式是通过分部积分得到，利用华里士公式可以快速计算三角函数的幂次的积分，需要注意其积分上下限是[0,Π/2]，当不满足该原则时可以使用区分再现公式换元或拆分上下限使其满足

2.5.4 方法总结

常规求解定积分的三大步骤如下：

判断是否具有对称性
判断是否具有几何意义
若均无上述性质再进行定积分的计算
- 一般情况使用定积分换元积分或分部积分搭配区间再现、点火公式完全能够解题
  - 出现复杂的三角函数或高次三角函数一般使用区间再现都能够处理
  - 区间再现公式解决很多复杂问题及其“丝滑”，堪比分部积分
- 在满足使用条件的任何情况下使用牛莱公式都可以计算出定积分，当然计算量可能会非常大

3.变限积分

3.1 变限积分定义

变限积分的定义不重要，重要的是变限积分的性质和求导！！！

3.2 变限积分性质*

变上限积分只是一种抽象的函数，并不是基本初等函数类型的函数，但也是属于原函数的一种，用它可以表示出任何被积函数的原函数，即使有些被积函数并不存在形式为基本初等函数的原函数

性质3：变限积分只要存在，必然是连续的（这一点可以用于快速判断变限函数的图像，相比于性质1和性质2更常用）；

性质4：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数（考研常使用这种具体形式来表示函数f(x)的某一不含任意常数的原函数)

综合原函数存在定理、定积分存在定理以及此处的变限积分性质，可以得到以下汇总结论（在解决一些选择题的时候非常有用）

3.3 变限积分求导

变限积分求导公式要求求导变量(即上下限中的函数的变量)不能出现在被积函数中，否则必须通过换元将其移出被积函数才能使用上述公式

3.4 变限积分函数&函数&导函数*

这三个是考研数学中最常出现的函数“祖孙三代”，下面总结这三个函数之间的重要性质

根据前面所说变限积分的性质，只需要被积函数可积，即可有变限积分的相关性质；但只有被积函数连续时，才谈原函数的相关性质（变限积分在被积函数连续的情况下等于原函数）
关于结论4，若f(x)连续则f(x)的全体原函数均为偶函数
关于结论5，若f(x)连续则f(x)的全体原函数中只有下限为0的原函数是奇函数（奇函数必定过原点）
关于结论6，因为常数不会改变函数的周期性，因此非0下限的变限积分仍然是以T为周期的周期函数（前提是0下限的变限积分是周期函数）

3.5 特殊变限积分

变限积分的求导变量和积分变量如下

变限积分最重要运算的是其求导运算

使用上面两个公式的前提是求导变量和积分变量在各自的位置上互不纠缠，否则需要换元再使用公式（记住换元时令t换元为u其中x视为常数）

3.5.2 分段函数的变限积分

通用方法

注意分段函数的变限积分与分段函数的定积分有区别，后者只需要在不同的区间段代入相应的被积函数计算即可，前者需要对求导变量x进行讨论（简单，做题直接上手分析就行不要畏惧）

积分变量t与求导变量x的取值在同一区间则无需额外分情况计算

积分变量t与求导变量x的取值不在同一区间需要将x的区间拆分为“同一区间”和“不同区间”计算

3.5.3 换序求导型的变限积分

变限积分最重要的运算之一就是求导运算，但是针对某些特殊的变限二次积分的求导，往往需要换序，将其称为换序求导型的变限积分。

注意这里与二重积分换序积分的区别在于，换序之后的积分形成的被积函数要求符合变限积分求导公式的条件。下面直接给出例题

4.反常积分

定积分存在需要有两个必要条件，一是积分区间有限，二是被积函数有界：

如果破坏了积分区间的有限性（也就是闭区间变成了开区间），就引出无穷区间上的反常积分；
如果破坏了被积函数的有界性，就引出无界函数的反常积分；

反常积分不属于定积分，因为不符合定积分的定义。在介绍反常积分之前需要先介绍一些基本概念：

瑕点：若函数f(x)在点a的某一领域内无界，则称点a为函数f(x)的瑕点 – 简单来说瑕点就是使得函数极限为无穷的点（也就是无界函数中“无界”的那个点）；
奇点：一般将∞和瑕点统称为奇点；

瑕点在解题过程中非常容易被忽略（考题会将瑕点埋伏在区间内部），不能看函数上下限来确定瑕点，要从函数本身进行分析（没有固定方法，只能找特殊点验证是否使得f(x)->∞）

而无论是无界反常积分还是无穷反常积分，其几何意义仍可以套用定积分中曲边梯形的面积来理解，比如下面下图引用部分是以x=0为瑕点的无界反常积分的几何意义图示

常说的反常积分收敛，其对应的几何意义就是上图阴影部分的面积是可以被计算的

4.1 无穷区间上的反常积分

无穷区间上的反常积分的概念与敛散性

4.2 无界函数的反常积分

无界函数的反常积分的概念与敛散性定义

4.3 反常积分的计算/敛散性判别

4.3.1 反常积分的计算

反常积分的计算一般分两种，要么是说在反常积分收敛的情况下计算，要么是直接让计算反常积分（未知敛散性），无论是哪种情况直接使用上面对应公式求解即可非常简单，不必考虑敛散性（极限存在则收敛，极限不存在则发散），需要注意上面公式中的符号意义

在反常积分收敛的情况下，是有可能实现将反常积分与定积分相互转化的

对于无穷区间上的反常积分直接无脑硬算就行，但是对于无界函数的反常积分一般我们需要找到其瑕点再进行计算（如果没有找到瑕点直接当定积分计算是可能出问题的）

4.3.2 敛散性判别*

反常积分的收敛性可以通过求被积函数的原函数，然后按定义取极限，根据极限是否存在来判定，但这种方式往往计算量极大，当反常积分的被积函数较复杂时不推荐计算法，下面介绍比较判别法。

首先需要注意判别时要求每个积分有且仅有一个奇点，比如从(0,1)的积分其中0和1都是奇点，则将该积分拆分为(0,1/2)+(1/2,1)进行判断，最后求交集

使用比较判别法判别反常积分的敛散性主要掌握如下两个尺度

上述尺度的记忆，当正无穷为奇点则p>1收敛，当0为奇点则p<1收敛（收敛的顺序与奇点和1的大小顺序相同）
无论是无穷区间还是无界函数的反常积分的敛散性，都只需要在其奇点处讨论（因此上述结论中的1可以是任何非奇点如1/2、1/3）；
额外的，还有两个尺度也可以记忆，加快解题速度

拥有了尺度和判别原则后，只需要使用比较判别法或比值判别法将待判别反常积分与上述尺度进行比较即可

更一般的是利用等价无穷小或极限计算等将待比较被积函数化为已知chi’du的形式再比较（这是利用了本节出题的特点就只能是从已知的四个尺度进行演化，不可能完全创新）

5.积分等式&积分不等式*

积分等式或积分不等式顾名思义就是显式含积分的等式或不等式（这与微分不等式略有不同）；

5.1 积分等式

该考点一般会作为应用大题考察，要么是让证明某个积分等式成立，要么是计算某个积分。主要有以下主流方法：

通过常用积分等式搭配基本积分法，证明某特殊积分等式后求解另一复杂积分；
积分中值定理（拉格朗日常与罗尔搭配使用）以及推广的积分中值定理；
夹逼准则计算复杂积分；

5.1.1 中值定理

前面我们已经介绍过各种不同的中值定理，涉及积分形式的有一个积分中值定理

这里补充一个积分中值定理的推广形式，当g(x)为1的时候就是普通的积分中值定理

积分中值定理推广

一般题干给出的条件中，出现∫(抽象函数*具体函数)dx的形式就可以考虑使用推广积分中值定理

5.1.2 夹逼准则

夹逼定理一般用于计算复杂积分，即被积函数不容易积分的时候进行放缩处理

积分的夹逼最好直接夹在两个数或表达式而不是积分之间，因为夹在积分中间还需要额外计算积分；

5.1.3 积分法

积分法就是使用基本积分法来推导，一般会要求先使用基本积分法得到一个新的积分法，然后利用新的积分法来解决问题；

5.2 积分不等式

积分不等式的研究方法与微分不等式类似，主流方法都是使用函数单调性，偶尔可能会使用凹凸性（如“函数端点值相同证明函数在区间上大于或小于端点值”，只需要求解凹凸性即可）。

往往很多时候整个积分不好处理我们可以只研究被积函数，利用积分的保号性得到积分的大小关系，这是第二种解题思路。

5.2.1 研究整个积分

(1)函数性态

利用单调性证明不等式是主流方法，通常的做法是先让某一积分限（通常是上限）变量化为x，之后构造辅助函数，通过研究辅助函数的单调性来证明不等式；

一般适用于所给条件为“f(x)在[a,b]上连续”的情形，或者其上下限、被积函数比较复杂；

除了单调性和凹凸性，有时候利用几何性质画图也能帮助解题

(2)积分法

此方法是最基本也最核心的方法，即使用基本积分法来证明不等式。简单来说就是直接把要证明的积分计算出来（这要求一定的计算能力）

5.2.2 研究被积函数

(1)拉格朗日中值定理

用拉格朗日中值定理处理被积函数，得到被积函数的不等式后，利用积分的保号性得到积分的不等式

该方法一般适用于所给条件为“f(x)为一阶可导且某一端点的值较简单（通常为0，往往用于构造中值定理中的f(a)）”或出现f与f'之间的关系（适用条件不用太care，更一般的是通过具体题型来选择方法而不是通过这种使用条件来判断）；

(2)泰勒公式

将f(x)展开成泰勒公式，甩掉拉格朗日余项后得到不等式，然后利用积分保号性得到积分不等式

当题干出现f(x)二阶可导且某端点值较简单（通常为0，往往作为函数展开点）且一般要求解决二阶导数f’’(x)的问题；

八、一元函数积分学的应用

1.几何应用

一元积分学的几何应用与一元微分学的几何应用的一个重大区别就是，不需要过多的分析只需要直接套公式+强大的计算能力即可。因此本讲要求记忆所给公式，注意以下公式均假设曲线都是连续的

1.1 平面图形面积

1.1.1 直角坐标系

直角坐标系

仅靠上面的公式并不能解决所有问题，更常用的是将直角坐标系下的平面图形面积分为X型和Y型解题

记忆公式

其实更朴素的方式是连X、Y型区域都不要背，解题时直接根据微元法手动推导计算公式。我个人是推荐分析法和公式法都掌握以应对不可知的题型。

1.1.2 极坐标系

因为扇形面积公式为S=1/2θR^2^，因此可以推出如下

极坐标系

极坐标方程的上下限确定方法与参数方程有区别。参数方程是严格按照原x的变化对应参数t的变化，但是极坐标方程的上下限是逆时针方向射线依次经过的两个夹角，其中r2(θ)是射线第一次经过的曲线，r1(θ)是射线第二次经过的曲线。

1.1.3 参数方程

注：参数方程很容易混淆的一点就是确定上下限，如椭圆的参数方程，当x=0的时候参数实际是等于Π/2的，当x=a时参数等于0，这就意味着假如要使用参数方程进行面积的计算则dt的下限是Π/2，上限是0（实际上就是上对上，下对下的定积分换元法）；一个简单的方法就是先利用直角坐标系写出求面积公式后再转换为参数方程代入求解；

1.2 旋转体体积

1.2.1 直角坐标系

(1)平面曲边梯形绕坐标轴旋转

这种情况下的旋转体是指由某个二维平面图形绕x轴或y轴旋转得到的三维立体图形，其体积的基本求解方法就是将体积看作面积的微元求和，示意图如下

下面直接给出不同情况下对应的计算公式（这里给出公式只是为了方便日常做题检验是否正确，不要硬背要去理解，利用上面这种思想主动利用微元法推导计算公式）

绕x轴旋转_实心旋转体

绕x轴旋转_空心旋转体

绕y轴旋转_实心旋转体

绕y轴旋转_空心旋转体

(2)平面曲线绕定直线旋转

这种情况下的旋转体是指平面曲线L绕着平面上的任何一条定直线L0进行旋转得到的三维立体图形，因为是平面上的任何一条定直线，所以直接给出结论，可应用到绕x轴或绕y轴的情况

1.2.2 参数方程

参数方程没什么好说的（因为很简单），先直接利用直角坐标方程（因为参数方程和直角坐标方程都是在同一个直角坐标系下，这点注意和极坐标方程位于极坐标系区别）写出表达式，之后直接分别代入参数方程即可；

1.2.3 极坐标系

极坐标系下的平面图形绕极轴旋转得到的旋转体体积公式如下

1.3 平面曲线弧长

光滑曲线弧可求弧长，需要注意的是因为弧长一定是正数所以积分下限一定小于积分上限

平面曲线的弧长使用微元表示为 ds=根号下(dx^2^+dy^2^)，将其应用在不同的坐标系下可以得到如下曲线弧长计算公式

1.4 函数平均值

1.5 形心坐标

求解平面上的曲边梯形的形心坐标公式如下（这里是二维形心，后面还会介绍三维形心）

质量均匀分布的平面薄片的质心等于该平面的形心

1.6 旋转曲面的面积(侧面积)

前面求解旋转曲面的体积使用的微元是dx，但是此处求解面积的微元必须是ds

需要记忆的旋转曲面面积公式如下

1.7 截面面积已知的立体体积

这种题型非常简单，就是刚开始学习一元函数积分的时候“切土豆”的例子，使用微元法求解

2.物理应用

这里的题型是对一类题型的总结，其解题方法（即微元法）具有参考意义，并不仅限于解答给出的这几种题型

2.1 变力沿直线做功

此类题型题干一般都是“力F随着x改变而改变”，使用微元法解决

2.2 抽水做功

这类题型同样是“力随x的改变而改变”（其实就是变力做功的具体题型），需要做合理的坐标系能够帮助解题（同样使用微元法）

2.3 静水压力

水压力问题的特点：压强随着水的深度改变而改变，使用微元法解题，同样的，合理的坐标系能够帮助解题

这个平板没有宽度的意思准确来说是没有厚度，ABCD这个面就是平板的前面（平板被认为没有厚度）

2.4 位移大小与总路程

2.5 细杆质心

（这种题型直接套公式就行，没有过多解释的必要）

九、多元函数微分学

本讲名为多元函数实际上大部分都讲的是二元函数的微分，微分学的部分可以用二元的思想类比多元（这与多元函数积分既介绍了二元函数也介绍了三元函数略有区别）

1.基本概念

1.1 平面点集(非重点)

二元函数f(x,y)的定义域是平面上的点集，平面点集就是平面直角坐标系xOy上的点组成的集合，即以两个实数组成的有序数组(x,y)为元素的集合；

领域的概念：

给定平面上的一个点集E，可以使用领域的概念将平面上的点分为内点、外点和边界点

聚点=边界点+内点

按照不同的标准可以将点集分类：

设 E 为一个平面点集，若存在常数 δ>0，使得 E包含于U(O，δ)（这里 O 是指坐标原点），则 E 为有界集.否则，E就是无界集；
若 E 中的每个点都是 E 的内点，则 E 为开集；若 E 的边界点都是 E 的点，则E 为闭集.显然，若一个点集是开集，其余集必是闭集；若一个点集是闭集，其余集必是开集；
设E为一个平面点集，若对于E中的任意两点，都可用一条完全属于E的折线（说成曲线亦可）将这两点连接起来，则这样的E为（道路）连通集；
连通的开集叫开区域（连通+开集），一个开区域和它的边界点集的并集叫闭区域（连通+闭集），开区域、闭区域统称为区域；
若E是一个平面区域，且E内的任一条简单闭曲线的内部还在E内，则这样的 E称为单连通区域（通俗一点单连通区域没有“洞”），否则就叫多连通区域；

1.2 二元函数的极限

二元函数的极限也称为二重极限，与一元极限中x->x0有且仅有两种方式不同，二重极限中(x,y)->(x0,y0)一般有无穷多种方式；
通过找不同的趋近方式(可以是直线趋近也可以是曲线趋近)其函数值不同来证明二重极限不存在，不能通过穷举所有的趋近方式来证明二重极限存在；
除了洛必达法则和单调有界准则以外（这两个是一元函数微分特有），其他一元函数求极限的方法（如唯一性、局部有界性、局部保号性、戴帽脱帽法、运算规则、无穷小替换等）都可用于求解二元极限，二元极限一般能求出来就是存在的，一般求不出来就考虑寻找某特殊趋近方式证明其不存在；

1.3 二元函数的连续性

二元函数在某点的极限值等于二元函数在该点的函数值，则说明二元函数在该点连续；若二元函数在区域D上每一点都连续则称f(x,y)在区域D上连续；

对于不连续的情况，多元函数并不要求讨论间断点类型；

1.4 二元函数的偏导数

更一般的，对x的偏导数和对y的偏导数的定义式如下

偏导数的几何含义是曲面与平面x=x0或y=y0相交得到的曲线在(x0,y0)处切线的斜率（下面的例子中，偏导数fx(x0,y0)是M0Tx对x轴的斜率，偏导数fy(x0,y0)是M0Ty对y轴的斜率）；

对于一元函数来说可导必定连续，但对于多元函数来说，偏导存在不一定在该点连续（因为偏导存在只能保证沿着坐标轴极限值趋于函数值）；
导数等同于微商，但偏导数的记号是一个整体，不能看作分子和分母的商；

1.4.1 高阶偏导数

若偏导数仍具有偏导数，则称其为二阶偏导数。二阶偏导按照对变量求导的次序不同有如下形式（重点记忆第二和第三种形式，谁在前面就表示对谁先求导）

对x求偏导的时候将y和其他无关变量视作常数，对y求偏导同理 – 在解答某些客观题(主观题因为涉及过程分不推荐这样用)的时候可以直接代入视作常数的值加快计算。比如要计算在(1,1)点的f’x(x,y)，则可以先令y=1代入f(x,y)的式子简化表达式得到f(x,1)，然后再对x求偏导得到f’x(x,1)，令x=1得到最终结果（注意代值以后就不能对该变量进行后续求导，比如不能对f(x,1)求y的偏导数，因为对常数求导的结果为0）
全导数是复合链式法则中的概念，与偏导数不是相对的概念。即尽管z与x存在若干中间变量，但最终z只是x的函数z=z(x)，则z对x的导数dz/dx就称为全导数；
对于第二种和第三种形式的高阶偏导数又称为混合偏导数，如果这两个混合偏导在区域D内连续则在该区域内两个二阶混合偏导必然相等 – 实际上，二元初等函数的偏导数仍然是初等函数，这意味着二元初等函数的二阶混合偏导一定是相等的。换句话说，只要不是抽象函数一般都可以认为其混合偏导相等，即无论是先对x求偏导还是先对y求偏导最终结果相同（这在计算某些混合偏导时非常有用，类似于二重积分的换序处理简化计算）

1.4.2 偏导数的连续性

判断二元函数f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是否连续的主要步骤如下

注意，定义法就是指类似的方式求解在(x0,y0)处的偏导数，该偏导数可以认为是精确值；

公式法指的是类似，也就是利用题干所给的公式求解在(x,y)的偏导数表达式，接着代入x->x0和y->y0得到逼近值；

1.5 二元函数的全微分(不去心)

由偏导数的定义可知，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率。类比一元函数微分学中的增量与微分之间的关系，可以得到二元函数的偏微分定义如下

上面两个式子左端称为二元函数对x和y的偏增量，右端称为二元函数对x和y的偏微分。然而实际问题常常研究的是多元函数中多个自变量同时变化时对应的因变量变化，也就是全增量问题。类比一元函数，可以得到二元函数的全微分定义如下

二元函数全微分的几何意义为使用平面AΔx+BΔy来拟合曲面Δz

多元函数在某点可微分则在该点必定连续

多元函数在某点可微的必要条件是偏导数f’x和f’y都存在（这里偏导存在在前，可微在后，可微可以推出偏导存在）

多元函数在某点可微的充分条件是偏导数存在且连续（偏导存在且连续在前，可微在后，偏导存在且连续可以推出可微，但是偏导存在不连续不能推出不可微）

叠加原理：二元函数的全微分dz等于它的两个偏微分求和即f’x(x,y)dx+f’y(x,y)dy – 这里就是dz和dx以及dy，不要去考虑为什么不是偏导数的写法，因为偏导数并不类似于微商；

判断二元函数f(x,y)在点(x0,y0)是否可微的主要步骤如下（实际上就是判断曲面和平面之间的误差是否是距离ρ的高阶无穷小）

根据多元函数的关系图可以知道，偏导数连续是可微的充分条件，因此另一种证明二元函数可微的手段就是证明二元函数的两个偏导数均连续

1.6 二元函数的方向导数

其中l是xoy平面上以P0(x0,y0)为起点的一条射线，其与x轴的夹角为α，与y轴的夹角为β

方向导数的结果是一个数，注意与梯度的结果是一个向量作区分；

函数f(x,y)在某点可微分，则函数在该点任意方向的方向导数都存在；

偏导数的几何含义是函数f(x,y)沿x轴或y轴方向函数的变化率，方向导数的几何含义是函数f(x,y)沿任意方向的变化率；

x轴方向的偏导数存在的充要条件是函数f(x,y)沿x轴正负方向的方向导数均存在且互为相反数，y轴同理；

上述定义式并不容易计算方向导数，计算方向导数的一般式如下

1.7 二元函数的梯度

梯度是一个二维空间的向量，方向导数是三维空间的一个数；

这里论述一下梯度和方向导数的关系

方向导数=|梯度|*cosθ，这意味着当梯度的大小固定时，只有当梯度方向和方向导数同向时方向导数才能取得最大值，换句话说，某点的梯度只有一个，但该点的方向导数有无数个，当方向导数与梯度的方向相同时，该方向导数最大；

换一种方式理解梯度，即借助等值线（将等值线理解为z值不变，绕一圈映射在xoy平面上的路径）

等值线是二维平面曲线而非立体曲线；
梯度方向=等值线某点法线方向；

2.多元函数微分法则

2.1 复合函数求导法

复合函数求导法则也称为链式求导(作图求导)法则，注意这与一元函数的“洋葱法则”是有区别的，一定要画出对应的复合结构图（其他情况均可类推）

链式求导法则常和以下定理结合使用：无论z对哪个变量求导，也无论z求了几阶导，求导后的新函数仍然具有与原函数完全相同的复合结构（下图是一个解题过程中的示例）

一般情况下对复合函数的复合结构图中间变量使用数字表示，对隐函数的复合结构图中间变量使用字母表示

利用f’i表示f对第i个位置的变量的一阶偏导数，例如当f(u,v)则f’1表示f对u求偏导，f’2表示f对v求偏导；

利用f’’ij表示f对第i个位置的变量求一阶偏导数，然后对f’1的第j个位置的变量求二阶偏导数；

2.2 隐函数求导法

隐函数就是无法将表达式提取为y关于x的表达式，这并不意味着y和x无关，仅仅只是无法将y用x显式表示。多元隐函数求导与一元隐函数求导有相似之处，有三种方法可以使用

方法
复合函数求导法	这种方法也就是常说的直接对方程两边对变量求偏导，这是最容易想到也是计算量最大的方法
全微分形式不变	这种方法对于理解计算过程很有帮助，掌握之后也是一大解题利器
隐函数存在定理（公式法）	公式法的好处在于，因为公式中的x,y,z相对于F来说都是独立互不纠缠的，所以在对某变量求导时可以将其他变量视作常数。且利用公式法求解方程组问题可以很快得到答案

2.2.1 隐函数存在定理(公式法)

利用下面的隐函数存在定理，不仅可以判断一个二元方程F(x,y)=0是否确定一个一元隐函数(最多可能确定两个一元隐函数)，一个三元方程是否确定一个二元隐函数(最多可能确定三个二元隐函数)，也可以直接求出对应的隐函数的偏导数。

二元隐函数

三元隐函数

隐函数存在定理除了可以用来判断方程F能够确定几个具有连续偏导的隐函数外，也可以用于求解隐函数的偏导数；

公式中的F’x和F’y或F’z都表示F对x或y或z求一阶偏导数，也就是说视其他变量为常数；

对于隐函数方程组来说，可以直接套用以下公式解决问题（当然使用复合函数求导等手段处理之后联立方程求解也行，但是效率和准确度上相对来说没那么高）

2.2.2 全微分形式不变

3.多元函数的极值和最值

广义极值的定义

广义最值的定义

若题干未指明求解的极值(最值)是否广义，则按照广义求解；
在公式法不适用时(特指求极值)一定要想到定义法，一般这类题型会比较难 – 如判断f(0,0)=0是否是极值点，可任取y=x和y=-x两条路径逼近，讨论其邻域内的值与f(0,0)的大小关系

3.1 无条件最值

多元函数的无条件最值问题非常简单，可能取得最值的点只可能是驻点、偏导不存在的点、定义域端点，只需要求解这三类点的函数值进行比较即可

3.2 无条件极值

二元函数取极值的必要条件（表示二元函数取极值的时候能够推出什么结论）

二元函数取极值的充分条件（表示满足什么条件的时候二元函数取极值，该充分条件不适用于三元及三元以上的函数）

Tips：上述充分条件只适用于判断偏导存在的点是否是极值点，对于偏导不存在的点只能用极值定义进行判断。比如函数z=|x+y|其在(0,0)点的偏导数根本不存在，因此只能使用极值的定义，因为当(x,y)!=(0,0)时总有z(x,y)>=0，所以(0,0)是z的极小值点（极值的定义）；

一般的，求解函数的极值点的主要步骤如下（用必要条件求出可疑点，用充分条件判别可疑点是否是极值点）：

解方程组fx(x,y)=0和fy(x,y)=0，得到驻点（即可疑点，也就是使得fx(x,y)=0和fy(x,y)=0同时成立的点(x0,y0)）
求解二阶偏导fxx、fxy和fyy
判断AC-B^2^结果
- 当AC-B^2^=0时考虑用极值的定义来检查
最后考虑函数偏导数不存在的点是否是极值点（用极值的定义）
- 使用极值定义进行判断，即验证当点(x,y)沿着任意方向(一般选择y=x、y=-x或y=0)趋近该点时的不等式关系是否满足极值定义；

Q：驻点和极值点的关系？

A：无论对一元还是二元函数来说，驻点不一定是极值点(z=x^3^)，极值点也不一定是驻点(z=|x|)；

对于一元函数来说具有导数的函数的极值点一定是驻点，对于二元函数来说具有偏导数的函数的极值点一定是驻点；

3.3 条件最值

条件最值的问题一般描述为“函数在约束条件下的最值”、“函数在区域D边界上的最大值和最小值”（在区域D内部是无条件极值问题），这类问题使用拉格朗日乘数法解决

条件最值的问题，难点在于建立辅助函数（识别约束条件和目标函数）和解方程组（三个考虑的点）
- 当目标函数中含以下情况时，需要转换讨论的最值的对象
解方程组时
- 轮转对称性是指，对于目标函数和约束条件，若交换x和y的位置后方程不变则可以令x=y，若交换|x|和|y|或交换x^2^和y^2^后方程组不变则x=-y也可能有解；
- 讨论拉格朗日乘子是否可以等于0，除了结合几何意义讨论外，直接令其为0看方程组是否有解是更推荐的方法；
- 消元法即消去拉格朗日乘子λ和μ(用x、y、z的表达式来表示或直接作除法得到x、y、z之间的关系式)；换句话说，目的就是解出未知数x,y,z的值，不关心λ和μ是多少；

3.4 闭区域最值

类比一元连续函数在有界闭区间上必有最值，多元连续函数在有界闭区域D上一定存在最值（换句话说，最值不存在于区域内部则一定存在于区域的边界）

闭区域最值问题，即求函数在某闭区域D上的最值（属于结合考察条件最值和无条件极值，在区域D的内部是无条件极值，在区域D的边界上是条件最值）

多元函数的条件最值的求解方法如下（即先求无条件极值的所有可疑点的函数值，再求条件最值的备选点的函数值，最后比大小）

4.偏微分方程

偏微分方程就是含偏导数的等式。一般的偏导数问题都是给出函数表达式z=z(x,y)，要求求解z对x或y的偏导。偏微分方程主要是给出z对x或y的偏导，要求使用积分得到原函数表达式z=z(x,y)

偏微分方程主要有以下三种题型：

第一类又称为逆问题，本身非常简单，需要注意的是如果已知的是混合偏导，在对y求不定积分时，得到的应该是原函数+关于x的函数φ(x)；而在进一步的对x求偏导时，对于φ(x)其原函数应当也是关于x的函数所以可以仍然用φ(x)表示，注意最后还应当再加上关于y的函数w(y)
第二类问题一般需要读者自己换元，将已知偏微分方程给携程常微分方程求解
- 如题干给出z=xf(y/x)+y或者f(x^2^+y^2^)、f(e^x^cosy)等，都需要令括号中的表达式换元为u再解题 – 化简得到的常微分方程应当将x、y全部消去只保留关于u的表达式
第三类问题常常用复合函数求导法结合题干已知信息硬解即可

十、二重积分

1.基本概念

1.1 二重积分的定义

1.1.1 原始定义

一重积分的定义（一重积分也被称为定积分，是一元函数在平面上的积分）：

二重积分的定义（二重积分就是二元函数在空间上的积分，大于等于二重积分的积分都称为多元积分）：

三重积分的定义（其中f(x,y,z)认为是某点的密度，认为Δvi这部分的体积密度相同）

二重积分可以形象的理解为由“小薯条”（微元）组成的“大面包”（曲顶柱体的体积）

一重积分的几何意义为曲边梯形面积(二维)，二重积分的几何意义为曲顶柱体的体积(三维)，三重积分的物理意义为三维不规则物体的质量(几何意义无法描述)；

二重积分与一重积分需要使用存在定理判断是否存在不同，当函数f(x,y)在闭区域D上连续时函数f(x,y)在D上的二重积分必定存在，一般情况下总认为二重积分在D上连续，即总是认为二重积分存在；

1.1.2 精确定义

二重积分的精确定义如下

同一重积分的精确定义类似，常用于求解和式极限

1.2 二重积分的性质

1.2.1 二重积分对称性

二重积分的几何背景是曲顶柱体的体积：“用底面积dσ乘以高f(x,y)，得到一个‘小竖条’的体积，再在区域D上把所有的”小竖条累加起来，就得到了整个曲顶柱体的体积”；

基于上述思路，就可以引出普通对称性和轮换对称性；

一般在计算二重积分之前都需要先考虑对称性，当区间D没有对称性的时候就只能硬算（轮转对换性对某些复杂函数积分可能有奇效）

无论是普通对称性还是轮转对称性都是讨论的积分区域的对称性，而不是被积函数的对称性。因此即使被积函数相同，针对不同的积分区域都可以尝试使用对称性化简；

(1)普通对称性

普通对称性很好理解，利用二重积分的几何意义将底面积拆分，以积分区域关于y轴对称为例，对称位置上的小竖条体积分别是f(x,y)dσ和f(-x,y)dσ，因此只需要考虑f(x,y)和f(-x,y)之间的关系

利用上述思想可以得到如下结论（二重积分包括之后的三重积分、线面积分的对称性都不要背，结合其具体意义理解）

(1)积分区域关于y轴对称

考研题型中可能会出现注中的情形，即对称轴平移。与一元函数换元处理不同，这里采用构造新函数的方式处理，比如将∫∫xdxdy构造为∫∫(x-Π)dxdy+∫∫Πdxdy，分析∫∫(x-Π)dxdy在积分区域上的对称性

(2)积分区域关于x轴对称

(3)积分区域关于原点对称（大白话就是，将这个区域绕着原点旋转180度，它会和原来的区域完全重合，其结论与积分区域关于y=-x对称相同）

(4)积分区域关于y=x对称

该推论与下面要介绍的轮转对称的相同之处在于积分区域都关于y=x对称，不同之处在于若f(x,y)与+-f(y,x)相等则使用该对称性，否则使用轮转对称将被积函数转换为f(x,y)+f(y,x)计算

(2)轮换对称性

若将x和y对调后，积分区域D不变（即D关于y=x对称），则有

将这个性质称为轮换对称性，一般使用方法如下

1.2.2 二重积分中值定理

该定理适用于被积函数为抽象函数或被积函数极其复杂不便于积分时，将二重积分转换为区域D上某一点的值与积分区域D的面积之积；

1.2.3 二重积分周期性

这种方法的限制比较多，能够使用的题型也就只有这种，但是一旦能够使用可以节约大量计算时间；

2.二重积分的计算

按照二重积分的定义来计算二重积分对少数简单的被积函数和积分区域来说是可行的，对于一般的函数和区域来说需要使用其他的方法进行计算（也就是常说的将二重积分化为二次积分计算）；

在计算二次积分时，如果被积函数中既有x又有y，但此时是先积y再积x，在对y求积分时x可以视作常数用于凑微分等；

一般情况下，计算二重积分按照以下步骤进行（特别是选择题以及填空题，考察技巧性而非计算能力）：

先观察积分区域是否具有对称性（一般对称或轮转对称）；
若积分区域不具备明显的对称性可以考虑分割积分区域，使得分割后的各个积分区域有对称性，在各区域上分别积分；
使用一般对称性时，需要考虑被积函数的奇偶性，如果被积函数不具备明显的奇偶性则考虑拆分被积函数分别积分；

2.1 直角坐标系

口诀：“后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限”（该口诀同样适用于改变积分次序）

在直角坐标系下，按照积分次序的不同，一般将二重积分的计算分为两种情况：

图(a)表示的是X型区域：穿过D内部且平行y轴的直线与D的边界相交不多于两点；
图(b)表示的是Y型区域：穿过D内部且平行x轴的直线与D的边界相交不多于两点；

直角坐标系下的二重积分计算先画出xOy的积分区域，判断是X型区域还是Y型区域：

X型区域作平行于y轴的直线与积分区域相交于两点，上面的函数放在积分上限，下面的函数放在积分下限（对应上图(a)，二次积分对应下面(1)）
Y型区域平行于x轴的直线与积分区域相交于两点，右边的函数放在积分上限，左边的函数放在积分下限（对应上图(b)，二次积分对应下面(2)）

无论是哪种情况，积分下限必须小于等于积分上限（要求dx和dy都是正数，因为面积一定大于0）；

当D既不是X型区域也不是Y型区域时，将D分为多个部分，使得每个部分是X型区域或者是Y型区域；

2.2 极坐标系

极坐标系下的二重积分计算有以下注意点：

极坐标系下几乎所有的计算都是先积r再积θ（与定限顺序相反），一般不讨论积分次序的交换问题；
一般积分区域是圆、圆环或扇形，或被积函数形如f(x^2^+y^2^)、f(x/y)、f(y/x)的情况下选择极坐标系；

2.2.2 极坐标系计算

在极坐标系下，按照积分区域与极点位置关系的不同，一般将二重积分的计算分为三种情况：

上述三种情况同样适用口诀“后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限”

2.2.3 极坐标交换积分次序

以下面这道题简单介绍如何在极坐标系下进行积分次序的转换

2.3 坐标系转换

二重积分坐标系转换主要分为两种情况，一种是给出极坐标系需要转换为直角坐标系计算如（因为这个积分在极坐标系下非常的难算）

一种是给出直角坐标系需要转换为极坐标系下计算如

实际上上述两道题在计算能力很强的情况下也可以头铁做出来，但是使用合适的转换方法能够达到事半功倍的效果；

2.3.1 直角坐标系转极坐标系

将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标下的二重积分的主要步骤为：

θ上下限：极轴按照逆时针旋转，确定θ的上下限分别是极轴先后经过的夹角；
ρ上下限：旋转极轴与积分区域D先相交的作为下限r1(θ)，后交的作为上限r2(θ)（极点O在积分区域D中则下限为0）；
将f(x,y)中的x和y分别用ρcosθ和ρsinθ代替，末尾额外增加ρdρdθ；

2.3.2 极坐标系转直角坐标系

相对较简单

按照对应关系将rsinθ和rcosθ分别转换为y和x，同时必须凑出rdrdθ的形式才能转换出dxdy；
画出积分区域D，按照直角坐标系下的二重积分计算法则将二重积分拆为二次积分计算；

2.3.3 交换积分次序

除了上述转换坐标系的想法，适当的交换积分次序也可以达到简化计算二重积分的效果（针对某些被积函数对某个变量的原函数无法使用初等函数表示的情况）

一般情况下所说的交换积分次序都是指直角坐标系下的dx和dy交换，但实际上极坐标系下的dθ和dr也能交换次序（只不过这种情况很少见）。无论是直角坐标系还是极坐标系，方法都是相同的，即先画出积分区域，然后利用口诀“后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限”写出交换后的累次积分即可；

2.4 二重积分换元法

二重积分与定积分类似仍有换元积分法，实际上极坐标系下的二重积分就可以使用直角坐标系下的换元得到。前面介绍的一重积分换元有“三换”

与之对应的，二重积分换元有如下“三换”

注意dxdy换元为dudv时，前面的补充系数是雅可比行列式的绝对值；
换元法主要有两种使用的情形
- 积分区域复杂：如4x^2^+y^2^<1是椭圆区域，使用直角坐标和极坐标都复杂，换元令x=1/2rcosθ,y=rsinθ即可使用极坐标求解；
- 被积函数复杂：如e^(x+y)平方^(x^2^-y^2^)，令u=x+y,v=x-y换元即可。需要注意Dxy对应的积分区域Duv需要对应每条曲线都画出来，确保积分区域转换的正确性；

3.二重积分比大小

与一重积分不同，二重积分比大小的情况几乎都是积分区域不同而被积函数相同，有以下结论可以使用（一般结合画图理解）

使二重积分最大的积分区域是，在该积分区域内的被积函数值均为正（比如使得∫sinxdx最大的积分区域是[0,Π]）

十一、常微分方程

1.基本概念

1.1 微分方程

微分方程的定义：表示未知函数y及其导数（或微分）与自变量x之间关系的方程，简单来说只要含有微分或导数的方程，无论几阶都称为微分方程，n阶微分方程的形式为

在n阶微分方程中，y^(n)^必须出现，其他变量如x,y,…,y^(n-1)^可有可无；

微分方程其实就是隐函数F或未知函数y求导的结果，求解微分方程目的就是反求出隐函数F或未知函数y；

与微分方程类似的一个定义是积分方程：含未知数积分的方程，其求解方法是等式两边同时求导将其化为微分方程处理；

1.2 常微分方程

常微分方程的定义：

偏微分方程是指包含未知函数的偏导数/偏微分的方程，在这一章中讨论的都是常微分方程，无需过多关注偏微分方程；

再次声明这个“常”并不是代表常数，而是表示未知函数y=f(x)是一个一元函数；

1.3 微分方程的解

若微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数，则该解称为微分方程的通解（微分方程的解是一个函数）

当确定了通解中的常数后，通解就成了特解；

独立：指的是经过任何恒等变形都无法使得常数的个数减少，如y=C1x+C2；

常微分方程的求解可大致分为两步：判断类型和具体求解

某些时候题干所给的公式并不是已知类型（可分离变量、一阶线性），需要结合恒等变形或换元（重要）化为已知类型，比如y’+1=e^-y^sinx就可以先恒等变形为(e^y^)’+e^y^=sinx，再令e^y^=u得到u’+u=sinx；
具体求解阶段直接套用相关公式（硬背）即可，没有捷径可言；

1.4 解的性质

参考链接：

下面会出现三种解，“特解”“通解”以及“解”，其中“特解”指的是常数C确定的通解，而“解”并没有指明是特解还是通解

1.4.1 一阶线性微分方程

1.4.2 二阶线性微分方程

若y1、y2、y3分别是(2)式三个线性无关的解，则C1y1+C2y2+C3y3(C1+C2+C3=1)是(2)式的通解；

2.一阶微分方程

2.1 变量可分离型

能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和 dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

变量可分离型的微分方程解法非常简单，只需要两边同时求积分即可

有时候将g(y)放在分母中即附加了条件g(y)!=0，这可能导致最后的通解并不是全部解，一般情况下我们将g(y)=0代入假如此时方程也成立，称之为奇解，考虑通解中C是否能够取得某个常数使得通解能够表示为奇解的形式，如果不能则直接写原本的通解即可，否则加上奇解（即做题过程不用考虑奇解）。

2.2 可化为变量可分离型

2.2.1 非齐次型微分方程

使用换元法，令u=ax+by+c，化为可分离变量的形式

2.2.2 齐次型微分方程

形如dy/dx=φ(y/x)的方程称为齐次型微分方程，其解法同样使用换元法，令u=y/x化为可分离变量的形式

Q：如何判断一个方程是否齐次？齐次型方程和齐次方程有关系吗？

A：齐次即x和y的次数对称（注意并不是相等），在微分方程的领域两次使用到齐次的叫法，分别是齐次型方程和齐次方程

齐次型方程是指形如y’=φ(y/x)的方程，指的是方程中的每一项关于x和y的次数都是相等的，x^2^,xy,y^2^都是二次项，x,y,dy,dx都是一次项，dy/dx,C(常数),y/x都是零次项；
齐次方程是指形如y’’+py’+qy=0的方程，指的是方程中每一项关于未知函数y及其导数y’,y’’…的次数都是相等的
- y’’+py’+qy=0称为齐次方程，因为未知数y和它的导数次数相等，都是一次的；
- y’’+py’+qy=x称为非齐次方程，因为y及其导数的次数都是一次的，但是x不包含y及y的导数，即x是关于y及y的导数的0次项，因此称为非齐次方程；

2.3 一阶线性微分方程*

该类型的考频最高，同时也是后续各种微分方程求解的基础，一般情况下使用公式法解决。一阶表示y的导数是y’，线性表示y’和y之间的关系都是一次线性的，假如q(x)是0则称为齐次方程，假如q(x)不是0则称为非齐次方程。

前面介绍变限积分的时候说过，可以使用函数的变限积分表示函数的某一原函数，此处有同样的结论，在研究函数y(x)的具体性质时(极限、单调性等)非常好用

2.4 伯努利方程

伯努利方程的形式中要求n!=0,1，因为n=0时是一阶线性微分方程，n=1时是可分离变量方程(注意不是n的阶乘等于而是n不等于)。

对其进行求解的方式很简单，直接同时除以y^n^然后换元将其化为一阶线性微分方程后使用公式法求解

常微分方程的自变量和因变量是相对的，有些时候需要根据具体的题干选择自变量和未知函数，不可盲目求解

y’+p(x)y=q(x)y^n^这是以x为自变量，y为未知函数的伯努利方程；

dx/dy-x/y=(lny/y)*x^2^这是以y为自变量，x为未知函数的伯努利方程，左右同时除以x^n^并且令z=x^1-n^换元即可求解；

2.5 全微分方程

3.二阶可降阶微分方程

3.1 y’’=f(x,y’)型

该形式方程中不显示含未知函数y

这种形式相对简单，因为缺少y所以要y’和y’’没用，直接用p将y’替换即可；

3.2 y’’=f(y,y’)型

该方程中不显示含自变量x

这种形式相对第一种有一点难度，因为需要降阶所以还是需要令y’=p，但是因为不能显式出现x，所以对于y’’的表示需要使用dy来代替；

4.高阶线性微分方程

4.1 二阶微分方程

4.1.1 基本概念

前面介绍了二阶可降阶微分方程，此处主要介绍二阶不可降阶方程的求解，首先介绍几个概念：

二阶变系数线性微分方程：其中p(x)和q(x)称为系数函数，f(x)称为自由项
二阶常系数线性微分方程：其中p,q为常数，f(x)为自由项

当f(x)=0时称为齐次方程，否则称为非齐次方程；考研基本都考察的是常系数微分方程，变系数只需了解即可（常系数作为变系数的特例更加简单，考研不对不可降阶的二阶变系数方程做要求）；

4.1.2 解的结构

二阶微分方程解的结构大致可分为以下三种形式（无论是针对变系数还是常系数都通用）：

二阶齐次线性微分方程的通解：
二阶非齐次线性微分方程的通解：即齐次线性的通解+非齐次线性的特解；
二阶非齐次线性微分方程的特解：（这种形式一般是解决自由项较复杂的时候将其拆分分别处理，最后再叠加得到特解）

无论是第二种特解还是第三种特解，其自由项一定都是大纲要求的两种之一，不必过分担心

4.2 二阶常系数微分方程的解

前面介绍的解的结构只是二阶微分方程抽象解的形式，这里给出具体解题过程中如何求通解和特解（根据考研大纲，只要求掌握常系数微分方程的求解即可）。

4.2.1 二阶齐次微分方程的通解

对于y’’+py’+qy=0，其对应的特征方程为r^2^+pr+q=0（如何得到的参见张宇视频，可以直接硬背），对特征方程求根，有以下三种情况分别对应齐次微分方程的通解情况

4.2.2 二阶非齐次微分方程的特解

因为非齐次的通解=齐次的通解+非齐次的特解，上面已经讨论过齐次的通解，因此这里只需要讨论非齐次的特解。

对于y’’+py’+q=f(x)，最重要的是如何设置其特解y*，主要根据自由项的形式不同设置不同的特解，设置之后将特解反向代入非齐次方程得到具体的特解。

4.3 n阶常系数微分方程的解

称如下形式的微分方程为n阶(n>=3)常系数齐次线性微分方程（如下结论不适用于一阶和二阶）

其对应的特征方程为

根据特征方程求出其特征根，根据特征根的情况可以得到微分方程的解的情况（注意这里列举出的特征根的情况更严谨的表达应该是，“如果特征根中出现如下情况…则微分方程的通解中应该含有…”）

r^2^+1=0则r=+-i是单复根，(r^2^+1)^3^=0则r=+-i是三重复根；

根据上述理论基础，可以得到如下结论（这也是考研题型更倾向于考察的“反问题”）

5.微分方程的应用

微分方程一般只涉及物理应用，主要针对牛顿第二定理和变化率问题（实际上牛二定律也属于这类问题），解题方式都是建立微分方程后求解（建方程+解方程）。当然除了典型的微分方程，积分方程的应用问题同样可归为微分方程问题求解。总之这部分内容难度不大，拥有一定的问题建模能力即可。

5.1 牛顿第二定律

F=ma

5.2 变化率问题

这种题型的题干一般为“t时刻某量y对t的变化率与t时刻某量成正比”，主要有两种模型，一种是正比模型一种是反比模型

实际上，增长率并不一定就是正的，也可能出现“负增长”的情况，因此一定要严格审题；

6.欧拉方程

欧拉方程属于微分方程部分的内容，称如下形式的微分方程为欧拉方程（其中p与q是常数，f(x)是已知的连续函数）

可以看到欧拉方程是一个二阶变系数微分方程，处理方式是通过换元将其变成二阶常系数方程，这里需要使用前面介绍过的相关变化率 dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)，不同的情况t值的取法不同

上述换元的核心在下面这个导数的计算

关于欧拉不要背结论，学会如何推导公式才是最重要的

十二、无穷级数

级数是指一个有穷或无穷的序列的和，如果序列是有穷序列则其和称为有穷级数，否则称为无穷级数（一般简称为级数）。常见的简单有穷级数包括等差数列、等比数列，本章介绍的所有级数都是无穷级数。

无论是什么级数，研究其敛散性的过程中始终贯穿这样的方法：级数与其对应的部分和数列同时收敛或发散，因此判断级数的敛散性问题可转换为判断部分和数列极限是否存在的问题

写出部分和数列{Sn}
求Sn的极限lim~~n->∞~~Sn
- 若极限存在则称级数收敛；
- 若极限不唯一、不存在或无穷则称级数发散；

1.常数项级数

1.1 概念和性质

若无穷项级数形式如下

其通项un是常数而不是函数，则该级数称为常数项无穷级数（无穷级数简称级数）。

常数项级数主要有如下性质：

线性性质

级数敛散性与有限项的增减无关

Tips：性质2可以简单说成是“改变级数的任意有限项，不会改变该级数的敛散性”（此处的有限项既指的数量有限，也指的大小有限，大小为无穷的数没有资格成为级数的项）

通项极限为0

Tips：性质3是级数收敛的必要条件但不是充分条件，这意味着当通项为0时级数不一定收敛，其逆否命题即“通项的极限不为0则级数发散”常用于判决级数发散；

该条性质的证明如下

该条性质的意义在于，联系数列收敛与级数收敛。limun存在表示数列{un}收敛，则数列通项之差作为通项的级数也收敛，反之同样成立。

1.2 级数审敛法

下面直接给出正项级数、交错级数和一般级数的敛散性判别法，这里是简介版的汇总，紧接着会对每个判别法进行详细的说明

1.2.1 正项级数

若通项un>=0则称级数为正项级数，主要有五种敛散性的判别方法（这意味着如下五种方法都只适用于正项级数）

(1)收敛原则

收敛原则(也称为基本定理)的证明非常简单，只需要抓住“正项级数的部分和数列{Sn}是一个单调不减且下界为0的数列”这一性质即可

有界本意指的是既有上界又有下界，但是因为{Sn}天生有下界且单调不减，故只需证明存在上界即可；

(2)比较判别法

可以通俗的理解为“两个正项级数，大的收敛则小的必定收敛；小的发散则大的必定发散”；
使用比较判别法需要首先选择使用小于还是大于，这决定了如何进行放缩，一般情况下这是很难的一件事，所以一般情况下比较判别法使用的也比较少；

(3)比较判别法的极限形式

该判别法的证明直接用高阶无穷小、同阶无穷小以及低阶无穷小证明即可

比较判别法的极限形式一定要注意失效条件（失效表示此时并不是同敛散）
- 当A=+∞，vn收敛，失效；
- 当A=0，vn发散，失效；
一般选择vn是已知敛散性的级数（也就是所谓的尺度），常见比较尺度如下

四大尺度

助记：上述等比级数中的q需要带绝对值，而p级数和广义p级数以及交错p级数中的p需要大于0

(4)比值判别法

也称为达朗贝尔判别法

极限审敛法是和别人比较，需要选择比较对象，使用比值审敛法可以直接与自己的通项比较（适用于通项中出现阶乘n!）；
如果ρ=1则不能使用此方法判别级数的敛散性(失效)，只能使用其他方法（比较法或定义法）；

(5)根值判别法

也称为柯西判别法

根植审敛法甚至直接是基于自身进行敛散性的判别，一般情况下通项有n次方可以选择该方法；
同样的，如果ρ=1则无法使用该方法判别级数敛散性(失效)，只能使用其他方法（比较法或定义法）；

(6)积分判别法

函数f(x)满足连续、非负且单调减，积分下限可以为任意正整数a（对应求和下限为a）
积分判别法适用于通项中含不好处理的项（一般是含有对数的级数）；

1.2.2 交错级数

若级数的各项出现严格正负相间的情况，则称这样的级数为交错级数（若不严格则称为任意项级数），一般写为（这样可以使得各项的正负号明显的呈现）

交错级数的判别法只有一个，被称为莱布尼茨判别法：

莱布尼兹判别法

更加形式化的判断条件如下，若满足如下两个条件则交错级数收敛

交错级数的考点在于题干不会直接告知级数是交错级数，一般需要将通项化简为(-1)^n^相关的形式（不绝对，某些题直接利用绝对值也能够进行放缩求解）；

莱布尼兹判别法仅是充分条件而非必要条件，因此若无法证明un单调不增则该方法失效，另谋他法（一般将其拆分利用性质判断）

莱布尼兹判别法严格要求需要在整个定义域上un均单调不减，但实际上因为前有限项求和并不会影响级数整体的敛散性，所以可以只研究当n->+∞时un的单调性！！！

可以将un=f(n)连续化为f(x)通过f’(x)的正负来判别un的增减性

1.2.3 任意项级数

若级数各项可正可负或为0，称这样的级数为任意项级数（一般级数）

有限项不会改变级数的敛散性因此可以直接从后面几项开始研究（此规定也适用其他级数）

对于任意项级数的敛散性判别，主要是研究其绝对值级数的敛散性（关于任意级数本身的敛散性的判定的内容是超纲的）

可以知道绝对值级数就是前面介绍的正项级数，因此可以使用正项级数的判别法来判断它的敛散性。绝对值级数和原任意项级数的敛散性的关系如下：

绝对收敛即“加绝对值收敛”，条件收敛即“加绝对值发散”，可见对任意项级数的讨论都是讨论其绝对值级数的敛散性
上述定理更一般的记为“绝对收敛必收敛”，即绝对收敛比条件收敛更强
关于任意项级数与绝对值级数之间的敛散性关系，还有如下常见结论（结合题型理解记忆）

1.2.4 抽象级数

有如下常见抽象数项级数的敛散性判别结论

一般在做抽象函数的题目时（选择题），总是能够根据上述结论得到正确答案，而错误答案需要逐个举反例验证因此不推荐使用排除法；

额外的，有一个非常常用的条件转换技巧为：将一个级数收敛或通项趋于0转换为当n充分大时，通项|un|<1；

1.3 收敛级数的性质

性质1：收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛，且其和不变；

这个性质很容易证明得到，即根据收敛数列的子数列同样收敛；

可以根据性质1推出如下两个推论：

若加括号后得到的新级数发散，则原级数必然发散（逆否命题）；
若加括号后得到的新级数收敛，不能断言原级数一定收敛；

性质2：若原级数绝对收敛，不论将其各项如何重新排列，所得的新级数也绝对收敛，且其和不变（换句话说，绝对收敛的级数具有可交换性）

2.幂级数

幂级数章节的基本考点分为两个：判断幂级数在哪个收敛域上收敛以及收敛时其和函数是什么，这一节将围绕这两个考点展开；

2.1 基本概念

在介绍幂级数之前需要先介绍函数项级数，函数项级数的定义如下

简单来说函数项级数就是级数的通项不是常数而是函数，函数项级数的特点就在于其通项不仅与n有关还与x有关；

若函数项级数的通项un(x)是x的n次幂函数，则称该函数项级数为幂级数，其一般形式为（其中x0称为中心点、展开点）

其标准形式为（其中an称为幂级数的系数）

幂级数的下标究竟是从0开始还是从1开始不用纠结，每个地方的定义都不太一样

2.2 幂级数的收敛域

研究幂级数（，首要任务是判定其敛散性，只有在收敛情况下的幂级数才有继续讨论的意义（考研不会考察发散域上的幂级数，因为只有幂级数收敛其和函数才能被表示出来进而被进一步研究）

收敛域：函数项级数的所有收敛点的集合
发散域：函数项级数的所有发散点的集合

求解收敛域最直观的方式是代入某个具体的x使其成为常数项级数进而判别其是否收敛，但是一般来说收敛点或发散点是非常多的，使用这种代入方法逐个验证显然不现实，下面介绍更实用的方法。

2.2.1 具体型

(1)不缺项幂级数

(2)缺项幂级数

对于一般函数项级数的收敛域，可以不是对称区间，也没有“收敛半径”这一概念

2.2.2 抽象型

(1)阿贝尔定理

阿贝尔定理

阿贝尔定理并没有涉及端点的敛散性判别，因此两个端点的敛散性需要单独讨论

由阿贝尔定理推出的几个基本结论：

幂级数的条件收敛点只可能在收敛域的端点取得；
幂级数加绝对值与否只会影响其端点处的敛散性，不会影响其内部的敛散性；
幂级数的收敛域若包含端点则该端点一定条件收敛，而在区间内部一定绝对收敛；

(2)结论1

(3)结论2

2.3 幂级数求和

若幂级数收敛，那么所有的项求和的结果是多少（这个求和的结果是关于x的一个函数）？这就是幂级数求和的引出，幂级数的和函数与和函数展开是同一个问题的不同对立面。

幂级数求和的定义为（即使用一个函数S(x)来表示无穷项的级数）

注意一定是在收敛域上讨论幂级数求和以及和函数展开，因为对于级数来说只有当其收敛时其和才能被表示出来，对于幂函数来说只有在其收敛域上才可能有和函数的概念；

2.3.1 和函数的运算法则

幂级数的和函数的有如下运算法则

其中第二条法则非常重要，注意其使用条件是当系数下标和x的幂次相同，当不满足条件时需要进行处理，主要有以下三种处理方式

通项、下标一起变（其中l为整数，可正可负可为0）

只变下标，不变通项（加减）

只变通项，不变下标（乘除）

2.3.2 和函数的性质

幂级数的和函数有如下性质

2.3.3 重要展开式

如下重要展开式都需要熟练记忆，无论是幂级数求和还是和函数展开都会用到（顺逆均需记忆）

2.3.4 方法总结

当题干要求求解具体幂级数的和函数，主要按照如下步骤进行：

首先求出收敛域（之后的积分或求导都有可能导致收敛域的改变，因此一开始就求解出收敛域可以保证结果不出错）
设和函数S(x)=具体幂级数（这样写是有必要的！！！后续最终结果以及是否需要分类讨论均基于这一步的假设）
处理幂级数（目的是将幂级数转换为已知重要展开式）
- 先求导再积分：当(an+b)^c^在分母上
- 先积分再求导：当(an+b)^c^在分子上
- 无论是先积分还是后积分，积分的上限都为x下限都为展开点/中心点；并且针对先导后积的情况有，也就是说不要理所当然的认为S(x)和变限积分完全等价（先积后导没有这个问题)；
基于第二步设的S(x)和第三步的结果，得到最终结论

Q：先积后导和先导后积怎么记？

A：无论是和函数展开还是幂级数求和，都可能用到这两个工具，这两个工具的区别如下

2.4 和函数展开

与幂级数求和的一个相对的概念是和函数展开，即将和函数用幂级数表示，实际的应用意义在于可用于近似表示某些问题。

函数展开成幂级数的概念如下

无论是泰勒级数还是麦克劳林级数都称为和函数展开，和函数展开主要有两种方式：

直接展开法：直接逐个计算展开的各项，然后代入展开式，但是这种方法一般都不会使用；
间接展开法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项积分和待定系数法等方法得到函数的展开式；

Q：泰勒/麦克劳林展开式与泰勒/麦克劳林级数的区别是什么？两者又有什么联系？

泰勒/麦克劳林展开式与泰勒/麦克劳林级数的区别在于，前者是有限个幂函数求和之后再加上一个余项，后者是无限个幂函数求和；

两者的共同点在于都使用多项式函数来逼近一个函数；

一个函数是否能够在区间内展开成幂级数的充分必要条件是其泰勒展开式的拉格朗日余项在该区间内是否趋于0；

2.4.1 方法总结

和函数展开成幂级数，而幂级数无非分为泰勒级数和麦克劳林级数，主要有直接展开法和间接展开法，这里只介绍简介展开法的基本解题流程：

化简处理原表达式
- 如题干要求将原函数展开为x-3的幂级数，或求原函数在x=3处的幂级数展开，需要先构造出x-3的表达式
- 简单的化简处理就是恒等变形，高级的化简处理包括先导后积和先积后导（先导后积的积分上限为x下限为展开点，且注意f(x)与其定积分相差一个f(下限)）
使用已知展开式替换并结合收敛域写出成立范围
分析级数在端点的敛散性，整理表达式得出最终结果

3.傅里叶级数

前面介绍泰勒级数的时候我们知道，如果f(x)满足任意阶可导的条件，则f(x)可以直接展开成泰勒级数。这里如果f(x)满足更苛刻的条件，则可以展开成傅里叶级数（也称为三角级数） – 根据考研试题的特点，如果题目确定要考察傅里叶级数相关的问题则一定会满足这个展开条件不用去证明；

定义：

其中an和bn分别如下

考研数学中对傅里叶级数的要求主要就两方面：和函数展开为傅里叶级数、利用迪利克雷收敛求解傅里叶级数在某点的值S(x0)。这两个题型都不会很难，注意技巧即可。

3.1 和函数展开

将已知和函数f(x)展开为傅里叶级数S(x)，主要分为三种情况

当f(x)为普通函数（不具备奇偶性）则类似和函数展开那一节的直接展开法，将an和bn算出来代入就可以得到其展开形式 – 这需要记住上述展开式（硬背）
当f(x)在区间上存在奇偶性的时候，傅里叶级数的展开可以进一步化简得到正弦级数和余弦级数

第三种情况是延拓。函数的奇偶性在对称区间上才有意义，如果要求将一个区间在[0,l]的函数f(x)展开成正弦级数或余弦级数，这就需要做一个称为延拓的操作（可视为定义域的补充），延拓主要分为奇延拓和偶延拓

3.2 迪利克雷收敛

迪利克雷收敛一般用于借助f(x)求解S(x)在某一点的值，即题干一般会要求求解S(x0)的值或当x=x0时与S(x)相关的数项级数的值

定义

迪利克雷收敛简单来说就是，f(x)可以展开成傅里叶级数S(x)，但是f(x)并不是在每个点都等于S(x)（只有当f(x)在x为连续点的时候才一定等于S(x)）
左右端点处的两个值是相等的，都是最后一个表达式的结果

Q：和函数f(x)展开为泰勒级数和傅里叶级数有什么区别？

A：这里用一张图就可以解释两者之间的区别与联系

十三、多元函数积分学_预备

本章的内容主要都是一些零碎的知识点，主要服务于下一讲 – 多元函数积分学（除二重积分以外的其余多元函数的积分，可以说是整个高数最有挑战性的一部分知识点）

1.向量代数

1.1 向量

1.1.1 基本概念

向量定义：既有大小又有方向的量称为向量

两个向量，只要其大小相等和方向相同，则这两个向量相同，与它们在空间中所处的位置无关 –这被称为向量的自由性；
单位向量是表示向量方向的向量，其模的大小固定为1，其三个分量实际就是三个方向余弦；

向量的方向角和方向余弦

注意此处的方向角和方向余弦需要与向量夹角区分：

方向角

非零向量a与x轴、y轴和z轴正向的夹角α、β、γ称为a的方向角；
相应的，cosα、cosβ、cosγ称为a的方向余弦，且有计算公式（实际上就是对方向向量单位化的过程）
更一般的，有如下结论

1.1.2 基本公式

1.1.3 基本性质

1.2 空间直角坐标系

在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i,j,k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，将这三条数轴统称为坐标轴

这三条坐标轴构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系；
坐标轴的正向通常符合右手规则：即右手握住z轴，右手的四个手指从正向x轴以Π/2角度转向正向y轴，大拇指的方向就是z轴的正向；

Q：坐标轴和坐标系的区别？

A：坐标轴是指一条带方向有刻度的直线，而坐标系则是指若干条坐标轴组成的若干维的空间；

Q：向量r有几种表示方法？

A：主要有两种表示方法，一种是坐标分解式xi+yj+zk，一种是坐标表示(x,y,z)。

额外的，向量r可以表示为(x,y,z)，点M也可以表示为(x,y,z)，此处的有序数x,y,z都称为向量r/点M的坐标。

因为“一个点与该点的向径有相同的坐标”，因此记号(x,y,z)既可以表示点M，又可以表示向量OM。因为几何中点和向量是两个不同的概念，因此当看到坐标(x,y,z)时，需要根据上下文确认究竟表示点还是向量，不可混淆。

2.空间平面与直线*

空间平面（常简称为平面）和空间直线分别是空间曲面（常简称为曲面）和空间曲线的特例，下面是一个简单的方程汇总

2.1 空间平面方程

如果一非零向量垂直于一平面，该向量就被称为该平面的法线向量（简称法向量） – 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直且法向量方向可前可后；

假设已知平面的法向量n=(A,B,C)

平面的方程主要有一般式、点法式、三点式和截距式

平面点法式可以看作是直线点斜式(y-y0=k(x-x0))的推广；
平面的一般方程实际就是通过点法方程拆分得到，一般方程和点法方程同解 – 于是可以得到这样一个结论，任何一个三元一次方程的图形总是一个平面，其中(A,B,C)是该平面的一个法线向量的坐标；

最后补充一个知识点，称为平面束方程（特指共线/共轴平面束）

一般解题使用的还是只含一个未知参数的平面束方程，含两个未知参数的求解一般解不唯一；

Q：垂线和法线的区别？

A：垂线是两条互相垂直的直线其中的一条，法线是指任一垂直于某平面的直线；

2.2 空间直线方程

如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就称为该直线的方向向量 – 方向向量可前可后；

直线任一方向的方向向量s的坐标m,n,p称为该直线的一组方向数，而向量s的方向余弦称为该直线的方向余弦；

假设已知空间直线的方向向量Γ=(l,m,n)，空间直线的方程主要有一般式、点向式、参数式和两点式

2.3 空间位置关系

2.3.1 点到直线的距离

2.3.2 点到平面的距离

2.3.2 空间直线间的关系

两直线的方向向量的夹角（通常是锐角或直角）称为两直线的夹角

2.3.3 空间平面间的关系

两平面的法线向量的夹角（通常是指锐角或直角）称为两平面的夹角

2.3.4 平面与直线的关系

当直线和平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线于平面的夹角；

当直线和平面垂直时，规定直线和平面的夹角为Π/2；

3.空间曲线与曲面

类似空间直线与空间平面，下面是空间曲线与曲面的方程汇总

3.1 空间曲线方程

空间直线可以理解为两个空间平面相交得到，空间曲线的几何背景为两个曲面的交线

一般式（几何背景）

参数方程（可以理解为三维坐标(x,y,z)随着t的改变而改变，点动成线自然就形成了三维空间中的空间曲线）

3.1.1 曲线投影*

求曲线Γ在xOy坐标面上的投影曲线，则先将空间曲线方程中的参数z消去（方式就是将z用x和y表达出来，回代任意一个表达式)，得到φ(x,y)=0，然后联立z=0则得到曲线Γ在xOy坐标面上的投影曲线的方程为

按照上述方法，不投谁则消去谁，联立平面方程，即可得到曲线Γ在其他平面上的投影曲线方程。

3.2 空间曲面方程

空间曲面的方程只有唯一一个：F(x,y,z)=0

3.2.1 二次曲面

在空间解析几何中，将三元二次方程F(x,y,z)=0表示的曲面称为二次空间曲面（平面几何中有一个类似的概念为二次平面曲线，其特点是二元二次方程）

下面给出常见的二次曲面，尽量记住（旋转曲面和柱面也属于二次曲面，但是比较特殊放在后面单独讲解）

上述二次曲面所给的方程都是标准方程，考研基本也只会考察这些二次曲面的标准方程；
关于上述二次曲面的记忆方式，最简单直接的就是使用截痕法，还可以使用伸缩法、投影法、旋转法（绕着谁转谁不变…）等，方法不唯一，只要能记忆就行；

3.2.2 柱面方程

柱面是指动直线沿着定曲线平行移动所形成的曲面（简单来说就是缺少x,y,z其中任意一个字母的空间曲面方程就是柱面方程） – 柱面不一定是闭合的

F(x,y)=0表示母线(动直线)平行于z轴、准线(定曲线)是xOy平面上的曲线C:F(x,y)=0形成的柱面

3.2.3 旋转曲面*

旋转曲面是指曲线Γ绕一定直线旋转一周所形成的曲面

(1)通用解法

旋转曲面主要分为绕坐标轴旋转和绕某定直线旋转，下面先介绍通用的求解旋转曲面方程的解法

求解旋转曲面方程的核心就是联立上述三个条件，消去未知的x1,y1和z1即可得到H(x,y,z)=0曲面方程（消去即将x1,y1和z1表示为x,y,z的函数回代表达式即可）

下面这个例子是标准化的旋转曲面的求解，有助于帮助理解

(2)特殊情况_1

特殊的，当曲线绕着坐标轴旋转时（对母线没有限制），可简化上述通用解法得到如下简化计算式

(3)特殊情况_2

更加特殊的，当母线在某坐标面上，且绕着坐标轴旋转时（必须同时满足这两个条件），形成的旋转曲面方程可以使用如下口诀快速得到：“绕着谁转谁不变，另一个字母写作另外两个字母的平方和开根号”。因此绕着坐标轴旋转一共有如下六种情况（别背，这里只是做一个展示，真正考的时候用口诀推就行）

4.多元函数微分学的几何应用*

尤其需要注意的是，对空间曲线讨论的是切线，对空间曲面讨论的是法线。下面的结论需要记忆的实际就是方向向量的形式，其余的结论都可以利用空间直线的点向方程和空间平面的点法方程推导得到。

4.1 空间曲线的切线和法平面

上述第二种形式的切向量还有一种更直观的解法，需要用到三阶行列式

关于上述第二种形式，如果实在记不住结论也没关系，因为题干已经给出两个隐函数方程，因此使用隐函数求导解出dy/dx以及dz/dx同样可行；
在解题的时候，能将所给条件写成参数方程尽量写为参数方程，这样便于后续求解；

4.2 空间曲面的切平面与法线

主要分为两种情况，即空间曲面的方程分别是隐式和显式

5.场论

方向导数和梯度是有关数量场(温度)函数的概念，散度和旋度是有关向量场(磁场、电场)函数的概念

5.1 方向导数&梯度

推荐先看前面的笔记[二元函数的方向导数和梯度](# 1.6 方向导数)，其中介绍了二元函数f(x,y)的方向导数和梯度，三元函数f(x,y,z)的导数与梯度与之类似，理解了二元类后学习三元会简单的多。

三元函数的方向导数的定义式

从上述定义可知，要求解某个函数的方向导数需要确定“起点”以及“方向”，此处的方向特指三个方向余弦（即对方向向量进行单位化即可）

一般计算方向导数使用的都是计算式而非定义式，三元函数的方向导数计算式如下

方向导数的计算式只能在可微的情况下使用，故面对不可微的函数只能使用定义法解决；
若题干要求“计算函数在点P0处沿着直线L的方向导数”，因为方向不确定故需要添加正负号；

与二元函数的梯度类似，三元函数的梯度定义如下

方向导数和梯度的关系：
$$
方向导数=(梯度)点乘(方向余弦)
$$
无论函数是几元函数，其在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值

5.2 散度&旋度

梯度的定义是在数量场中，散度和旋度的定义都是在向量场（如引力场）中，主要用于下一讲的积分计算

散度的定义

旋度的定义

十四、多元函数积分学

1.三重积分

1.1 基本概念

二重积分求体积是基于该物体的的密度是均匀的，但是三重积分考虑的是三维空间中非均匀密度的某物体的质量

1.1.1 三重积分的精确定义

在[二重积分的定义](# 1.1 二重积分的定义)中已经介绍过三重积分的定义，这里再次将二重积分和三重积分做一个对比进行记忆

三重积分从几何上来说非常抽象，表示的是四维空间图像的体积，无法画出图形；
三重积分的物理背景可以理解，就是以f(x,y,z)为点密度的空间物体的质量；
一般的，总是假设三重积分存在，即f(x,y,z)在Ω上可积；

与定积分和二重积分相应的，三重积分同样存在精确定义用于计算数列求和

1.1.2 三重积分的性质

三重积分的性质基本上和二重积分相同，这里仅列出，按照二重积分的理解方式进行理解即可

1.1.3 对称性

三重积分的对称性的分析方法同样与二重积分的对称性方法相同，主要分为普通对称性和轮转对称性

1.2 三重积分的计算

无论在什么坐标系下计算三重积分，都是从适用场合和计算方法两部分考虑。而无论是在什么坐标系下计算三重积分，其本质都是将其化为三次积分进行计算（与二重积分化为二次积分计算相同）

1.2.1 基础方法

(1)直角坐标系

直角坐标系下的三重积分计算方法主要分为先一后二（先z后xy法、投影穿线法）和先二后一（先xy后z法、定限截面法）

(a)先一后二

适用场合：积分区域Ω（空间实心图形）分别有下曲面z=z1(x,y)和上曲面z=z2(x,y)，无侧面或侧面为柱面（也可以部分有柱面侧面、部分无侧面，当然平面也是特殊的曲面）

计算方法：“后积先定限，限内画条线，先交为下限，后交为上限”

(b)先二后一

适用场合（简单理解就是当被积函数只依赖一个变量且截面面积比较容易求解时使用先二后一）：

积分区域Ω是一个旋转体，其旋转曲面方程（参考十四讲[旋转曲面](# 3.2.3 旋转曲面*)）为Σ:z=z(x,y)（该旋转曲面方程题干可能给出也可能需要自行求解）；
被积函数f(x,y,z)仅仅只是关于z的函数g(z)（不绝对，有时候其他情况用先二后一也能简化计算）

计算方法：“后积先定限，限内截个面”（因为是旋转体因此截面一定是圆形，当然不是圆截面面积易于求解也可行，该截面一定是关于z的一个方程）

(2)柱面坐标系

直角坐标系的计算方法可以简单认为是“定积分dz与二重积分dxdy”，类似的，柱面坐标系下的计算方法也可以总结为“定积分dz与极坐标系下的二重积分rdrdθ”（不要去自找麻烦把dxdz搭配在一起作为“二”而拆分dy作为“一”，考研题型不会在这方面设阻碍）

适用场合(简单来说就是当直角坐标系下的二重积分dxdy适用极坐标系时，对应的三重积分适用柱面坐标系求解)：

积分区域Ω在xOy平面上的投影是圆或圆的一部分；
被积函数形如f(x^2^+y^2^),f(x^2^-y^2^),f(xy),f(x/y)之一与g(z)的复合

计算方法：

柱面坐标的三次积分顺序是固定的，即依次对dz、dr、dθ进行积分

Q：柱面坐标是针对先一后二还是先二后一的极坐标化呢？

A：先二后一作为一种简化手段无需额外极坐标化，所以一般情况下柱面坐标是针对先一后二的极坐标化；

(3)球面坐标系

适用场合：

积分区域Ω为球体或球体的部分、锥体或锥体的部分；
被积函数中包含两个或三个字母的平方和，形如f(x^2^+y^2^+z^2^)或f(x^2^+y^2^)

计算方法：计算球面坐标系下的三重积分需要记住两个重要前提条件

因此球面坐标系下的三重积分的计算公式可以写为（实在无法理解就硬背，后面有简单的推导感兴趣可以看看）

球面坐标下的三次积分的积分次序不变，即依次对dr、dφ、dθ积分（与定限的顺序相反）
球面坐标的定限方法如下

定限原则

上述定限原则可能比较生涩难以理解，下面给出更形象的记忆方法：

拉开一扇门(定θ)：首先将积分区域投影到xOy平面，然后用x轴正向射线逆时针旋转，先接触的为下限，后接触的为上限（取值范围[0,2Π]）；
喇叭花开花(定φ)：使用z轴正向射线“左右同时”从上到下扫描，先接触为下限，后接触为上限（取值范围[0,Π]） – 更严谨的说法是极径绕z轴旋转，与积分区域接触和分离的φ面作为上下限；
射线穿出来(定r)：原点出发的射线先接触的面为下限后接触的面为上限（取值范围[0,+∞]）；

定限图示

Q：球面坐标的三重积分计算式是如何推导出来的？

A：首先需要了解球面坐标是什么，空间中的一个点既可以用直角坐标也可以用极坐标甚至可以用球面坐标表示，球面坐标定义为(θ,φ,r)

其中r是原点到该点之间的距离，φ是射线与z轴正向形成的夹角，θ是该射线投影与x轴正向形成的夹角。

了解完球面坐标系后就可以介绍球面坐标系下三重积分计算式的推导。首先使用三个平面（简称三族面）将空间Ω切分为微元体，其中：

上述微元体接近长方体，三组边界面分别为：以原点为圆心，半径为r与r+dr的球面；以z轴为中心轴，半顶角为φ与φ+dφ的圆锥面；过z轴且与xOz轴面正向夹角为θ与θ+dθ的半平面。因此体积微元的三个边长dr,rdφ与rsinφdθ的乘积，因此最终球面坐标系下的三重积分的计算公式可以写为

1.2.2 技术方法

使用形心公式需要先了解[形心公式](# 4.2 重心与形心)，当被积区域Ω是一个规则图形，此时的VΩ容易计算求解，且其形心固定，可以逆用形心公式轻松求解需要求解的积分；

1.2.3 三重积分换元法

当被积函数复杂或积分区域不适用上述计算方法时，可以考虑对三重积分使用换元处理，换元要“三换”

实际上柱面坐标系和球面坐标系的方程都可由换元公式换出来；

2.第一型曲线积分

2.1 基本概念

2.1.1 定义

第一型曲线积分又称为对弧长的曲线积分

被积函数f(x,y)定义在平面曲线上，被积函数f(x,y,z)定义在空间曲线上，之所以写作这种形式是为了表示变量之间不具备独立性（称之为假二元或假三元函数），这是线面积分的特点

第一型曲线积分可看作由一重定积分推广得到（一重定积分是在直线段dx上积分，一型线积分是在曲线段ds上积分）

第一型曲线积分的几何意义

其几何意义是空间曲面的面积，物理意义是质量不均匀的空间曲线的质量，f(x,y)是线密度，ds为弧长微元（需要注意的是物理意义比几何意义低一个维度，因此对物理意义来说，f(x,y)是xOy平面曲线的线密度，f(x,y,z)是xyz三维空间中的曲线的线密度；而无论是在几维的空间，积分区域只要是曲线则是一重积分）；

考研数学中，总是假设第一型曲线积分是存在的（不存在也不会让你去计算）；

2.1.2 性质

第一型曲线积分的性质与定积分几乎完全一致，这里仅给出，不再解释

2.1.3 对称性

无论是普通对称性还是轮转对称性，分析方法与二、三重积分完全一致

轮换对称性，简单来说，因为ds具有交换性所以肯定不变，假如此时将x和y对调，积分区域也不变，则认为被积函数不同的两个积分结果是相同的（这个很简单千万不要想复杂了）；

2.2 计算方法

2.2.1 基础方法

以下所有的曲线积分或者曲面积分的基本计算方法都可应用口诀“一投、二代、三计算”

一投：将曲线投影到下来，确定积分的上下限（一定注意这个上下限并不是真正通过投影下来的线段确定的，这是由曲线本身的方程决定的，这里这样说只是方便理解）

二代：因为变量之间不具备独立性（这是线面积分的特点），因此需要将f(x,y)或f(x,y,z)中的字母代换为表达式

三计算：ds即前面介绍的弧微分计算

因为第一型曲线积分是由定积分推广得来，因此计算第一型曲线积分的基本方法就是将其转化为定积分。前面定义中介绍了两种物理意义的第一型曲线积分，即分别是空间曲线f(x,y,z)和平面曲线f(x,y)

对于空间曲线的情形

对于平面的情形

注意：

定积分的下限α一定要小于上限β – 此处直接记忆“第一型线积分的下限为小上限为大”，与之后“第二型曲线积分的下限为起点，上限为终点”做区分；

之所以要求此处的下限一定小于上限是因为质量恒大于等于0；

2.2.2 技术方法

关于上面第一点可不用管，因为在计算的过程中必须使用将边界方程代入被积函数才能正确求解

3.第一型曲面积分

3.1 基本概念

3.1.1 定义

第一型曲面积分又称为对面积的曲面积分

是由二重积分推广得到

其几何意义并没有说明，物理意义是空间非均匀曲面的质量，其中f(x,y,z)是面密度，dS是面积微元；

考研数学中，总是假设第一型曲面积分是存在的；

3.1.2 性质

3.1.3 对称性

需要注意的是，这里的轮转对称性更严谨的应该这样说：“当z=z(x,y)是单值函数时(意味着可以往xOy面投影)，交换x和y积分区域Dxy不变，则轮转对称性成立”，其他情况类似

3.2 计算方法

3.2.1 基本方法

第一型曲面积分的计算方法是将其转换为二重积分计算，无论空间曲面Σ由显式z=z(x,y)还是隐式F(x,y,z)=0给出的，都需要遵照口诀进行如下三个步骤（没有逻辑上的先后，哪个步骤方便先求解哪个）

注意，选择将曲面投影到哪个点是自行决定的，原则是投影之后的任何两个投影点不能重合。故投影主要可能出现以下几种情况：

无重合点：直接投影即可；

存在无限个重合点（投影出一条线）：将曲面投影到另一个平面；

存在有限个重合点：既可以选择将曲面投影到另一个面，也可以选择将曲面分隔为若干曲面使其各自投影后无重合点（比如曲面为椭球面就只能切分处理）；

最后多说一句，因为一型面积分和二型面积分的本质区别，故二型面积分投影出一条线进而积分为0是合理的，但一型面积分一定不行；

3.2.2 技术方法

4.重积分与第一型线面积分的应用

本小节是对之前的定积分、二重积分、三重积分以及第一型线面积分的应用的总结，常出现在应用题中，综合性较强。

4.1 几何量

4.1.1 面积&体积

平面区域（即xOy平面）的面积主要分为如下两种情况：

对于空间区域（即xyz坐标轴）的体积主要分为如下两种情况：

4.1.2 曲线弧长&曲面面积*

计算空间曲线的弧长公式如下

计算空间曲面的面积公式如下（考研题如果考察几何测度几乎就考察曲面面积）

在保证曲面方程由单值函数(即对定义域中的每个自变量其对应的函数值是唯一的)给出的情况下，可以向另外两个坐标面投影，进而分别得到曲面在yOz面投影区域的面积和zOx面投影区域面积；

4.2 重心与形心

在考研的范畴内，均认为物体的重心等于质心，而当密度ρ为常数时，重心又等于形心（三心合一），以下的公式直接记住其中一个即可任意推广。

4.2.1 平面薄片

4.2.2 空间物体*

（考重心、质心和形心就考空间物体）

4.2.3 物质曲杆

4.2.4 物质曲面

4.3 转动惯量

（至今为止转动惯量和引力还没有考察过，但是具有未来性，考前背公式即可）

抓住点到旋转轴/原点的距离r的平方（空间物体的转动惯量=（距离r的平方*质量微元dm）在积分区域上的三重积分）；

转动惯量的微元统一为，质量微元dm与dm到转动轴的距离的平方r^2^的乘积r^2^dm；

4.4 引力

抓住距离r的三次方（张宇的意思是这样背，而不是说万有引力公式与r^3^相关）

这里简单对三维空间中的物体引力公式做一个推导

5.第二型曲线积分

在介绍第二型曲线积分之前，先简单介绍一下场的概念，简单来说，场就是空间区域Ω上的一种对应法则：

如果Ω上的每一点都对应一个数量u，则称为数量场（无方向，比如温度场，数量场也称为数量函数）；
如果Ω上的每一点都对应一个向量F，则称为向量场（有方向，比如引力场，向量场也称为向量函数）；

除此之外，“第二型”的线面积分没有几何意义，只有物理意义！

5.1 基本概念

5.1.1 定义

第二型曲线积分也称为对坐标的积分，其定义如下

对应的图示如下

第二型曲线积分的物理意义为非恒力F沿有向曲线做的功|F|·|d|·cosθ

二型线积分中的ds称为弧微分向量，是一个有大小、有方向的向量；一型线积分中的ds称为弧微分，仅表示大小；

空间上的二型曲线积分额外增加一个dz分量即可；

5.1.2 性质

第二型曲线积分不同于之前所学的定积分、二重积分、三重积分等，它是一个向量函数沿有向曲线的积分，因此其性质与前面所介绍的都有所不同，下面展示的是二型曲线的对称性（更严谨的这不能称为对称性，与前面一型以及二重、三重区分，凡是涉及这种直接画图用下面的分析方法解题即可）

第二型曲线积分的性质如下

5.2 计算方法

5.2.1 基本方法

基本方法就是化为定积分，仍然使用口诀“一投二代三计算”，需要注意的是此处的上下限是起点和终点，并没有严格的大小关系。

5.2.2 格林公式*

格林公式只能用于二维平面！！！同时，若被积函数中含连续抽象函数f(x)，但未知其可导性绝对不能使用格林公式（高斯公式同理）

格林公式的意义就在于将关于做功的二型曲线积分（边界积分）转换为区域内部的二重积分（该二重积分的被积函数是场论中的旋度）

格林公式得使用条件，简单记忆就是，L为封闭曲线，L取得正向且P、Q具有一阶连续偏导(否则写不出旋度)；

所谓的“正向”是指沿着L的正向前进时，左手始终在L围成的区域D内；

旋度计算公式，简单记忆为“铅垂力对x求偏导，水平力对y求偏导”

考试的要点在于格林公式的三个条件被破坏（张宇的强化书上对格林公式划分了四种使用情况，但都是从这两种基本的方法推出的。个人认为没必要去记强化上面的，过于在意技巧容易迷失本质）

挖去法和补线法都是有代价的，需要在计算结果上减去多余的功才是最终的计算结果

挖去法的理论原理如下，因为挖去的曲线C可以是任意形状的，因此一般选取方便计算的路径曲线（此处的方便计算可以简单认为令分母等于常数σ，σ足够小，后续计算中可以消去不用担心）

5.2.3 斯提克斯公式*

斯托克斯公式主要用于计算空间第二型曲线积分，该公式的意义为将空间封闭曲线的二型曲线积分转换为一型曲面积分(或二型曲面积分)，其被积函数是三阶行列式

右手系指的是右手四指绕着边界曲线的方向，大拇指的方向就是曲面Σ的法向量方向；

斯托克斯的取巧方法可以理解为是泡泡棒中，没有任何形变时的泡泡平面就是最简单的曲面（前提是这个泡泡棒能构成一个平面）；

空间二型曲线积分三种选择：

定义法“一投二代三计算”

斯托克斯公式

利用积分与路径无关寻找简单路径

5.3 积分与路径无关

（这一小节的内容相对来说比较新颖，需要刷题消化）

六大等价条件

积分与路径无关，更严谨的说法是在某些条件下，二型曲线的积分与所选路径无关（二型曲线积分也称为对路径、坐标的积分）。对于平面二型曲线积分来说，应当满足条件“Q对x的偏导恒等于P对y的偏导”；对于空间二型曲线积分来说，应当满足旋度rot F=0。这两个条件本质上都表明所给的场是无旋场，无旋场天生具有积分与路径无关的性质（可以类比重力场中做功与路径无关）

积分与路径无关最常用于换路径（简单路径或折线路径）对二型曲线积分。根据上述六大等价条件，题干也可能要求算出原函数u(x,y)，最常用的方式是“折线法”

其中u(x0,y0)为单连通区域D中任取的一点，使用折线法之前需要先验证D内是否满足“Q对x的偏导恒等于P对y的偏导”，不满足时u(x,y)不存在不需要求解。只需要按照在D内按照折线路径计算积分即可

5.4 两类曲线积分的转换

这部分主要用于简化运算，当二型曲线积分较复杂时可以考虑转换为一型曲线积分计算。

理论依据

实际上，更常用的是以下转换公式

6.第二型曲面积分

6.1 基本概念

6.1.1 定义

第二型曲面积分也称为对坐标的曲面积分，即对有方向的曲面（通过曲面上的法向量来指向曲面的侧/方向）进行的曲面积分

对应的图示如下

第二型曲面积分的物理意义在于向量场中通过某曲面的通量

6.1.2 性质

同样的，第二型曲面积分的性质也与普通的定积分、二重积分等有所区别，下面是其对称性的分析

第二型曲面积分的性质如下

6.2 计算方法

6.2.1 基本方法

基本方法是先拆分为三个曲面积分，然后分别化为二重积分（仍然使用口诀“一投二代三计算”）

关于“一投”，需要将其投影到相应的坐标面而非无脑投影到xOy（全部投影到一个面计算也可以，但需要做一些变换，参见“转换投影法”）
关于“二代”，也需要根据投影的情况选择代入公式（比如投影到xOy平面则需要化为关于x和y的函数）
关于“三计算”的符号问题，非常好确定
- 对dxdy来说，法向量向上取正，向下取负
- 对dydz来说，法向量向前取正，向后取负
- 对dxdz来说，法向量向右取正，向左取负、

“一投”中需要强调的是，若Σ投影到平面上的是一条线（即无数个点重合），这是允许的积分结果为0；若Σ在某个面的投影有有限个点重合（即无法表示为单值函数），则要么将其划分为若干曲面片分别投影，要么使用转换投影法将其投影到另一个面；

6.2.2 高斯公式*

高斯公式和格林公式如出一辙，将二型曲面积分转化为三重积分（该三重积分的被积函数为散度，重点记忆P、Q、R分别是什么）

不能使用高斯公式时，除了考虑挖去和补面，也可以考虑直接计算

挖去法所挖掉的曲面应当是向内的，这样才能保证整个积分闭曲面是向外的；

一般挖去后得到的三重积分计算结果都是0，当然如果三重积分不为0则需要计算，因为挖去的体积很小可以忽略不计故以原空间积分区域计算三重积分即可；

尽管挖去体积很小在计算三重积分时可以忽略，但这个体上的二型面积分不能忽略需要算出来并减去（作为补偿）；

总结：